Encontre a integral dupla \iint_{B} e^{-x^{2}-y^{2}} d x d y, onde B é a região que está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=a^{2} e pelos eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} e^{-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy
onde B é a região no primeiro quadrante limitada pela circunferência \,x^{2}+y^{2}=a^{2}\, e pelos eixos coordenados. Informações relevantes dadas:
B=\{(x,y)\mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; x^{2}+y^{2}\le a^{2}\}.
A tarefa é encontrar o valor numérico (em função de a) dessa integral.

Passo 2

Por que transformar coordenadas? Aqui a integranda depende apenas de x^{2}+y^{2} e a região é um setor circular (primeiro quadrante de um disco de raio a). Nesses casos é muito mais simples usar coordenadas polares. Antes de trocar de variáveis, deixo claro o que cada símbolo significa: \,a é o raio da circunferência, (x,y) são as coordenadas cartesianas usuais, e B é o setor com ângulo de 0 a \pi/2.

Passo 3

Definimos as coordenadas polares por
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Ao fazer essa mudança, o elemento de área dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta. Explico rapidamente por que aparece o fator r: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então sua área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Esse r é o determinante jacobiano da transformação.

Passo 4

Agora escrevemos a integral em polares. Os limites são r de 0 a a (da origem até a circunferência) e \theta de 0 a \pi/2 (primeiro quadrante). A integranda e^{-x^{2}-y^{2}} vira e^{-r^{2}}. Portanto
\iint_{B} e^{-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{a} e^{-r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Vamos calcular a integral em r. Faça a substituição \,u=r^{2}\,, então \,du=2r\,dr e \,r\,dr=\tfrac{1}{2}\,du. Quando r vai de 0 a a, u vai de 0 a a^{2}. Assim
\int_{r=0}^{a} e^{-r^{2}}\,r\,dr =\frac{1}{2}\int_{u=0}^{a^{2}} e^{-u}\,du =\frac{1}{2}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{a^{2}} =\frac{1}{2}\bigl(1-e^{-a^{2}}\bigr).
Aqui usei que a integral de e^{-u} é -e^{-u}.

Passo 6

Agora integramos em \theta. Como o resultado da integral em r é independente de \theta, ficamos com
\int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{1}{2}\bigl(1-e^{-a^{2}}\bigr)\right)d\theta =\frac{1}{2}\bigl(1-e^{-a^{2}}\bigr)\cdot\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2} =\frac{1}{2}\bigl(1-e^{-a^{2}}\bigr)\cdot\frac{\pi}{2}.
Multiplicando os fatores obtemos o valor final da integral:
\frac{\pi}{4}\bigl(1-e^{-a^{2}}\bigr).
Uma checagem rápida: se a\to\infty, o termo e^{-a^{2}}\to 0 e a integral tende a \pi/4, que é o valor esperado para a integral de e^{-x^{2}-y^{2}} sobre o primeiro quadrante inteiro.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}\bigl(1-e^{-a^{2}}\bigr)

Exercícios relacionados