Encontre a integral dupla
, onde
é a região que está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região no primeiro quadrante limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados. Informações relevantes dadas:
A tarefa é encontrar o valor numérico (em função de
) dessa integral.
Passo 2
Por que transformar coordenadas? Aqui a integranda depende apenas de
e a região é um setor circular (primeiro quadrante de um disco de raio
). Nesses casos é muito mais simples usar coordenadas polares. Antes de trocar de variáveis, deixo claro o que cada símbolo significa:
é o raio da circunferência,
são as coordenadas cartesianas usuais, e
é o setor com ângulo de
a
.
Passo 3
Definimos as coordenadas polares por
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
. Ao fazer essa mudança, o elemento de área
transforma-se em
. Explico rapidamente por que aparece o fator
: um pequeno retângulo em
tem lados aproximadamente
e
, então sua área é
. Esse
é o determinante jacobiano da transformação.
Passo 4
Agora escrevemos a integral em polares. Os limites são
de
a
(da origem até a circunferência) e
de
a
(primeiro quadrante). A integranda
vira
. Portanto
Passo 5
Vamos calcular a integral em
. Faça a substituição
, então
e
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Aqui usei que a integral de
é
.
Passo 6
Agora integramos em
. Como o resultado da integral em
é independente de
, ficamos com
Multiplicando os fatores obtemos o valor final da integral:
Uma checagem rápida: se
, o termo
e a integral tende a
, que é o valor esperado para a integral de
sobre o primeiro quadrante inteiro.