e a tarefa que vou resolver (considerando o tipo de exercício mais comum para funções de duas variáveis) é: encontrar os pontos críticos de f e classificá-los (mínimo, máximo ou ponto de sela). As informações relevantes que temos são: a expressão explícita de f, e sabemos que a função exponencial e^{y^{2}-x^{2}} é sempre positiva para todo (x,y).
Passo 2
Primeiro precisamos calcular as derivadas parciais primeiras \partial f/\partial x e \partial f/\partial y. Vou ensinar as regras usadas:
Produto: se g(x,y)=u(x,y)\cdot v(x,y), então \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Cadeia: se v(x,y) = e^{h(x,y)}, então \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} = e^{h(x,y)}\cdot \frac{\partial h}{\partial x}.
Aqui é prático definir r(x,y)=x^{2}+y^{2} e s(x,y)=e^{y^{2}-x^{2}}, de modo que f= r\cdot s. Calculamos as derivadas:
Para f_{xy} (que deve ser igual a f_{yx} aqui), parto de f_x = 2x s(1-r) e derivo em y. Usei que \partial s/\partial y = 2y s e \partial r/\partial y = 2y. Fazendo a conta:
Simplificando dentro dos colchetes 2y(1-r)-2y = -2y r, então
f_{xy} = -4 x y r s.
Passo 8
Agora avaliamos f_{xx}, f_{yy} e f_{xy} nos pontos críticos (lembre s=e^{y^{2}-x^{2}}, que será um fator positivo em todos os pontos):
Em (0,0): temos x=0,y=0,r=0,s=1.
f_{xx}(0,0)=1\cdot[2(1-0)-0-0]=2,
f_{yy}(0,0)=1\cdot[2(1+0)+0+0]=2,
f_{xy}(0,0)= -4\cdot0\cdot0\cdot0\cdot1 = 0.
Logo
D(0,0)=2\cdot 2 - 0 = 4>0
e f_{xx}(0,0)=2>0. Pelo teste, (0,0) é um mínimo local. Observação extra: como f(x,y)=(x^{2}+y^{2})e^{y^{2}-x^{2}}\ge 0 com igualdade só em (0,0), esse mínimo é global e o valor mínimo é f(0,0)=0.
Resumo e interpretação final (pra você poder usar na prova): os passos práticos foram 1) calcular \nabla f usando produto e cadeia, 2) resolver \nabla f=0 (observando que o fator exponencial nunca zera), 3) calcular as segundas derivadas (Hessiano), 4) avaliar o discriminante D nos pontos encontrados e aplicar o teste das segundas derivadas. Isso foi o suficiente para classificar cada ponto.
Resposta
(0,0) — mínimo local (na verdade mínimo global), com f(0,0)=0. (1,0) — ponto de sela. (-1,0) — ponto de sela.