Um cilindro e uma esfera maciça de massa igual a 1 kg e raio igual a 10 cm , são colocados para rolar num plano inclinado de 60 cm de comprimento e
de inclinação. Determine a velocidade de cada um na base do plano inclinado e diga, qual dos dois chegará primeiro ou os dois chegarão ao mesmo tempo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um cilindro e uma esfera, ambos com massa de 1 kg e raio de 10 cm, rolando por um plano inclinado que tem 60 cm de comprimento e está inclinado a
. Queremos descobrir a velocidade de cada um quando chegam na base do plano e ver qual chega primeiro, se é que um chega antes do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que ambos os objetos estão rolando sem deslizar, ou seja, estão rolando puros. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de energia mecânica e momento de inércia.
Passo 3
A energia total no topo do plano inclinado é composta apenas de energia potencial gravitacional, já que estamos assumindo que eles começam do repouso. A energia potencial é dada por:
onde:
-
é a massa (1 kg), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura do plano inclinado.
Passo 4
Precisamos encontrar a altura
do plano inclinado. Sabemos que o comprimento do plano é 60 cm (0,6 m) e o ângulo de inclinação é
. Usando trigonometria:
onde:
-
é o comprimento do plano (0,6 m), -
é o ângulo de inclinação ( ).
Calculando:
Passo 5
No final da descida, a energia potencial é convertida em energia cinética de translação e energia cinética de rotação. A energia cinética total é:
onde:
-
é a velocidade linear, -
é o momento de inércia do objeto, -
é a velocidade angular.
Como está rolando puro,
, onde
é o raio.
Passo 6
Para o cilindro, o momento de inércia é:
Para a esfera maciça:
Passo 7
Substituindo
na equação da energia cinética:
Passo 8
Igualando a energia potencial à energia cinética:
Resolvendo para
:
Passo 9
Vamos calcular
para o cilindro:
Passo 10
Agora, para a esfera:
Passo 11
Comparando as velocidades:
- Cilindro: ≈ 1,98 m/s
- Esfera: ≈ 1,083 m/s
Como o cilindro tem uma velocidade maior na base do plano inclinado, ele chega primeiro.
Resposta
O cilindro atinge a base com velocidade de aproximadamente 1,98 m/s, a esfera atinge com cerca de 1,08 m/s. Portanto, o cilindro chega primeiro.