Um cilindro e uma esfera maciça de massa igual a 1 kg e raio igual a 10 cm , são colocados para rolar num plano inclinado de 60 cm de comprimento e 30^circ de inclinação. Determine a velocidade de cada um na base do plano inclinado e diga, qual dos dois chegará primeiro ou os dois chegarão ao mesmo tempo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um cilindro e uma esfera, ambos com massa de 1 kg e raio de 10 cm, rolando por um plano inclinado que tem 60 cm de comprimento e está inclinado a 30^circ. Queremos descobrir a velocidade de cada um quando chegam na base do plano e ver qual chega primeiro, se é que um chega antes do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que ambos os objetos estão rolando sem deslizar, ou seja, estão rolando puros. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de energia mecânica e momento de inércia.

Passo 3

A energia total no topo do plano inclinado é composta apenas de energia potencial gravitacional, já que estamos assumindo que eles começam do repouso. A energia potencial é dada por:
Ep = m cdot g cdot h
onde:
  • m é a massa (1 kg),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,8 , m/s^2),
  • h é a altura do plano inclinado.

Passo 4

Precisamos encontrar a altura h do plano inclinado. Sabemos que o comprimento do plano é 60 cm (0,6 m) e o ângulo de inclinação é 30^circ. Usando trigonometria:
h = L cdot sin(theta)
onde:
  • L é o comprimento do plano (0,6 m),
  • theta é o ângulo de inclinação ( 30^circ).
Calculando:
h = 0,6 cdot sin(30^circ) = 0,6 cdot 0,5 = 0,3 , m

Passo 5

No final da descida, a energia potencial é convertida em energia cinética de translação e energia cinética de rotação. A energia cinética total é:
Ek = 12 m v^2 + 12 I omega^2
onde:
  • v é a velocidade linear,
  • I é o momento de inércia do objeto,
  • omega é a velocidade angular.
Como está rolando puro, v = r cdot omega, onde r é o raio.

Passo 6

Para o cilindro, o momento de inércia é:
Icilindro = 12 m r^2
Para a esfera maciça:
Iesfera = 25 m r^2

Passo 7

Substituindo v = r cdot omega na equação da energia cinética:
Ek = 12 m v^2 + 12 I ( vr )^2 = 12 m v^2 + 12 Ir^2 v^2 = 12 ( m + Ir^2 ) v^2

Passo 8

Igualando a energia potencial à energia cinética:
m g h = 12 ( m + Ir^2 ) v^2
Resolvendo para v:
v = raiz 2 m g hm + Ir^2

Passo 9

Vamos calcular v para o cilindro:
vcilindro = raiz 2 cdot 1 cdot 9,8 cdot 0,31 + 12 cdot 1 cdot (0,1)^20,1^2 = raiz 5,881 + 0,0050,01 = raiz 5,881 + 0,5 = raiz 5,881,5 approx raiz3,92 approx 1,98 , m/s

Passo 10

Agora, para a esfera:
vesfera = raiz 2 cdot 1 cdot 9,8 cdot 0,31 + 25 cdot 1 cdot (0,1)^20,1^2 = raiz 5,881 + 0,040,01 = raiz 5,881 + 4 = raiz 5,885 approx raiz1,176 approx 1,083 , m/s

Passo 11

Comparando as velocidades:
  • Cilindro: ≈ 1,98 m/s
  • Esfera: ≈ 1,083 m/s
Como o cilindro tem uma velocidade maior na base do plano inclinado, ele chega primeiro.

Resposta

O cilindro atinge a base com velocidade de aproximadamente 1,98 m/s, a esfera atinge com cerca de 1,08 m/s. Portanto, o cilindro chega primeiro.

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