(a) Eliminate the parameter to find a Cartesian equation of the curve.
(b) Sketch the curve and indicate with an arrow the direction in which the curve is traced as the parameter increases.
(b) Sketch the curve and indicate with an arrow the direction in which the curve is traced as the parameter increases.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e pede (a) eliminar o parâmetro para obter uma equação cartesiana e (b) esboçar a curva indicando a direção conforme
cresce. Vamos usar propriedades de logaritmo para eliminar
e depois analisar como
e
variam com
.
Passo 2
Da segunda equação isolamos
:
Substituímos em
:
Para deixar em forma de função de
, tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
com domínio
.
Passo 3
A equação cartesiana
é o gráfico de uma função logarítmica deslocada para cima em 1 unidade. Pontos notáveis: para
temos
; para
temos
; para
temos
.
Como
aumenta,
cresce e
também cresce. Portanto a curva é varrida do canto inferior esquerdo (quando
,
,
) para o canto superior direito (quando
,
,
). No esboço, basta desenhar o logaritmo e pôr uma seta no sentido de subida para a direita.
Resposta
(a)
, com
.
(b) É o gráfico de uma função logarítmica ascendente, passando por , com seta apontando para cima e para a direita conforme
aumenta.
(b) É o gráfico de uma função logarítmica ascendente, passando por