(a) Eliminate the parameter to find a Cartesian equation of the curve.
(b) Sketch the curve and indicate with an arrow the direction in which the curve is traced as the parameter increases.
x=e^2 t, y=t+1

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x = e^2t, y = t + 1
e pede (a) eliminar o parâmetro para obter uma equação cartesiana e (b) esboçar a curva indicando a direção conforme t cresce. Vamos usar propriedades de logaritmo para eliminar t e depois analisar como x e y variam com t.

Passo 2

Da segunda equação isolamos t:
t = y - 1
Substituímos em x = e^2t:
x = e^2(y-1) = e^2y - 2 = e^-2,e^2y
Para deixar em forma de função de x, tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln x = 2(y - 1) Longrightarrow y - 1 = tfrac12,ln x Longrightarrow y = 1 + tfrac12,ln x,
com domínio x>0.

Passo 3

A equação cartesiana
y = 1 + tfrac12,ln x, x>0
é o gráfico de uma função logarítmica deslocada para cima em 1 unidade. Pontos notáveis: para t=0 temos (x,y)=(1,1); para t=1 temos (e^2,2); para t=-1 temos (e^-2,0).
Como t aumenta, x=e^2t cresce e y=t+1 também cresce. Portanto a curva é varrida do canto inferior esquerdo (quando tto -infty, xto0^+, yto-infty) para o canto superior direito (quando tto+infty, xto+infty, yto+infty). No esboço, basta desenhar o logaritmo e pôr uma seta no sentido de subida para a direita.

Resposta

(a) y = 1 + tfrac12,ln x, com x>0.
(b) É o gráfico de uma função logarítmica ascendente, passando por (1,1), com seta apontando para cima e para a direita conforme t aumenta.

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