Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
1-2!1 times 3+3!1 times 3 times 5-4!1 times 3 times 5 times 7+cdots

Passo 1

O enunciado dá a série alternada
1 - 2!1cdot3 + 3!1cdot3cdot5 - 4!1cdot3cdot5cdot7 + cdots
e pede para decidir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries (em particular, convergência absoluta) e vamos usar a Fórmula de Fatoriais e o Teste da Razão.

Passo 2

Para simplificar o termo geral note que
prodk=1^n(2k-1) ;=; (2n)!2^n,n!,
Isso vem de separar em (2n)! = l(prodlimitsk=1^n(2k-1)r)cdotl(prodlimitsk=1^n2kr) e usar prodk=1^n2k=2^n n!.

Passo 3

O termo de módulo da série é
bn =n!prodk=1^n(2k-1) =n!(2n)!2^n n! =(n!)^2,2^n(2n)!,

Passo 4

Aplicamos o Teste da Razão em bn:
bn+1bn =((n+1)!)^2,2^,n+1/(2n+2)!(n!)^2,2^n/(2n)! =2,(n+1)^2(2n+2)(2n+1) =n+12n+1 ;xrightarrow[ntoinfty]; 12<1
Como o limite da razão é menor que 1, a série sum bn converge.

Passo 5

Como sum bn converge, a série original converge absolutamente. Logo não há somente convergência condicional, mas absoluta.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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