Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty 2 times 4 times 6 times ldots times(2 n)n!

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty2times4times6timescdotstimes(2n)n!
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Aqui vamos simplificar o termo geral e usar o critério de séries geométricas.

Passo 2

Note que
2times4times6timescdotstimes(2n) =prodk=1^n(2k) =2^nprodk=1^nk =2^n,n!
Logo o termo geral fica
an=2times4timescdotstimes(2n)n! =2^n,n!n! =2^n

Passo 3

Substituindo em série, temos
sumn=1^inftyan =sumn=1^infty2^n,
que é uma série geométrica de razão r=2. Como |r|=2>1, pelo critério da série geométrica ela diverge.

Resposta

A série é divergente.

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