Elimine o maior número possível de símbolos de pontuação das fórmulas a seguir,mantendo a representação da fórmula original.
((\neg(\neg \mathrm{P})) \leftrightarrow((\neg((\neg(\neg(\mathrm{P} \vee \mathrm{Q}))) \rightarrow \mathrm{R})) \wedge \mathrm{P}))

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula proposicional
((\neg(\neg P)) \leftrightarrow ((\neg((\neg(\neg(P \vee Q))) \rightarrow R)) \wedge P))
e pede para eliminar o máximo de parênteses possível, sem alterar a estrutura da fórmula, usando as precedências padrão dos conectivos: \neg (mais forte), depois \wedge, depois \vee, depois \rightarrow, e finalmente \leftrightarrow.

Passo 2

Na parte esquerda do binário \leftrightarrow temos \neg(\neg P). Como o operador \neg é unário e mais forte que todos os outros, podemos remover os parênteses internos, escrevendo simplesmente \neg\neg P.

Passo 3

No membro direito aparece \neg(\neg(\neg(P \vee Q))). Primeiro agrupamos as negações aninhadas:
\neg(\neg(\neg(P \vee Q))) = \neg\neg\neg(P \vee Q).
Em seguida, note que \neg\neg\neg(P \vee Q) é apenas três aplicações sequenciais de \neg, então mantemos a forma
\neg\neg\neg(P \vee Q),
e só deixamos parênteses em P \vee Q por conta da precedência de \vee.

Passo 4

O membro direito completo é
(\neg((\neg\neg\neg(P \vee Q)) \rightarrow R)) \wedge P.
Dentro de \neg(\dots), o único binário é \rightarrow, que tem precedência menor que \neg, logo podemos escrever
\neg(\neg\neg\neg(P \vee Q) \rightarrow R) \wedge P,
sem parênteses ao redor de \neg\neg\neg(P \vee Q).

Passo 5

Finalmente juntamos a equivalência, lembrando que \wedge tem precedência maior que \leftrightarrow. Assim não precisamos de parênteses em torno dos dois lados de \leftrightarrow. A forma com o mínimo de pontuação é
\neg\neg P \leftrightarrow \neg(\neg\neg\neg(P \vee Q) \rightarrow R) \wedge P.

Resposta

\neg\neg P \;\leftrightarrow\; \neg(\neg\neg\neg(P \vee Q)\rightarrow R)\;\wedge\;P

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