d) \begin{cases}x-5, & \text { se } x \geq 5 ; \\\\ 5-x, & \text { se } x<5 .\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede para “eliminar o módulo” da expressão referente a x\) e apresenta a forma (que queremos justificar):
\[\begin{cases} x-5, & \text{se } x\ge 5;\\[4pt] 5-x, & \text{se } x<5. \end{cases}
O que se quer é escrever a expressão com módulo (|,\cdot,|] sem as barras, ou seja, obter a forma em partes (piecewise) equivalente. Vou partir da definição do valor absoluto para chegar nessa forma e explicar passo a passo como fazer isso numa prova.]
Passo 2
Lembrete básico (definição do módulo / valor absoluto): para qualquer número real a\),
\[|a|= \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Isto significa: se o que está dentro do módulo é não-negativo, tira-se as barras e fica o próprio número; se é negativo, multiplica-se por (-1] (ou seja, coloca-se o sinal contrário).]
Passo 3
Aplicar a definição ao caso em questão. Identificar a como a expressão dentro do módulo; aqui a=x-5. Substituindo na definição:
No ponto x=5 os dois ramos dão o mesmo valor 0, então a definição está consistente.
Estratégia geral numa prova: identifique quando a expressão dentro do módulo é \ge 0 ou <0 (aqui resolver x-5\ge 0), e em cada intervalo substitua por a ou por -a.
Exemplos rápidos para fixar: x=7\Rightarrow |7-5|=7-5=2.x=3\Rightarrow |3-5|=5-3=2. Isso mostra a simetria típica do módulo.