Elimine o módulo das expressões.
d) \begin{cases}x-5, & \text { se } x \geq 5 ; \\\\ 5-x, & \text { se } x<5 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para “eliminar o módulo” da expressão referente a x\) e apresenta a forma (que queremos justificar): \[\begin{cases} x-5, & \text{se } x\ge 5;\\[4pt] 5-x, & \text{se } x<5. \end{cases}
O que se quer é escrever a expressão com módulo (|,\cdot,|] sem as barras, ou seja, obter a forma em partes (piecewise) equivalente. Vou partir da definição do valor absoluto para chegar nessa forma e explicar passo a passo como fazer isso numa prova.]

Passo 2

Lembrete básico (definição do módulo / valor absoluto): para qualquer número real a\), \[|a|= \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Isto significa: se o que está dentro do módulo é não-negativo, tira-se as barras e fica o próprio número; se é negativo, multiplica-se por (-1] (ou seja, coloca-se o sinal contrário).]

Passo 3

Aplicar a definição ao caso em questão. Identificar a como a expressão dentro do módulo; aqui a=x-5. Substituindo na definição:
|x-5|= \begin{cases} x-5, & \text{se } x-5\ge 0,\\[4pt] -(x-5), & \text{se } x-5<0. \end{cases}]

Passo 4

Simplificar as condições em termos de x. A desigualdade x-5\ge 0 é equivalente a x\ge 5. A desigualdade x-5<0 é equivalente a x<5. Então
|x-5|= \begin{cases} x-5, & \text{se } x\ge 5,\\[4pt] -(x-5), & \text{se } x<5. \end{cases}]

Passo 5

Simplificar a expressão do segundo caso: -(x-5)= -x+5 = 5-x. Assim obtemos a forma final sem módulo:
|x-5|= \begin{cases} x-5, & \text{se } x\ge 5,\\[4pt] 5-x, & \text{se } x<5. \end{cases}]

Passo 6

Checagem e interpretação (dicas para a prova):
  • No ponto x=5 os dois ramos dão o mesmo valor 0, então a definição está consistente.
  • Estratégia geral numa prova: identifique quando a expressão dentro do módulo é \ge 0 ou <0 (aqui resolver x-5\ge 0), e em cada intervalo substitua por a ou por -a.
  • Exemplos rápidos para fixar: x=7\Rightarrow |7-5|=7-5=2. x=3\Rightarrow |3-5|=5-3=2. Isso mostra a simetria típica do módulo.

Resposta

|x-5|= \begin{cases} x-5, & \text{se } x\ge 5,\\[4pt] 5-x, & \text{se } x<5. \end{cases}]

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