Elimine o módulo das expressões.
c) \begin{cases}5-x, & \text { se } x \geq 0 ; \\\\ 5+x, & \text { se } x<0 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede que se elimine o módulo da expressão. A informação dada (a expressão a tratar) é:
5-|x|
A tarefa é escrever essa expressão sem o símbolo de módulo, explicitando-a em forma de casos (ou seja, sem |\cdot|).

Passo 2

Lembra da definição do valor absoluto (módulo). Para qualquer número real x\) vale: \[|x|=\begin{cases}x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0.\end{cases}
Explicando em palavras: o módulo de x\] é \(x quando x é não negativo, e é -x (o oposto) quando x é negativo.]

Passo 3

Agora substituímos essa definição na expressão \,5-|x|\,. Devemos tratar os dois casos de |x| separadamente.
Caso 1: quando x\ge 0, tem-se |x|=x. Substituindo em 5-|x| obtemos:
5-|x| = 5-x,\qquad \text{se } x\ge 0.

Passo 4

Caso 2: quando x<0, tem-se |x|=-x. Substituindo em 5-|x| obtemos:
5-|x| = 5-(-x)=5+x,\qquad \text{se } x<0.

Passo 5

Portanto, juntando os dois casos, a expressão \,5-|x|\,\) sem o módulo fica escrita como uma função por partes: \[\begin{cases} 5-x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] 5+x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Observação rápida e útil para a prova: isso também permite avaliar facilmente valores. Por exemplo, para x=2\] (caso \(x\ge0) obtém-se 5-2=3; para x=-3 (caso x<0) obtém-se 5+(-3)=2.]

Resposta

\begin{cases}5-x, & \text{se } x\ge 0; \\[4pt] 5+x, & \text{se } x<0.\end{cases}]

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