Elimine o módulo das expressões.
e) |5-x|

Passo 1

O enunciado pede para eliminar o módulo da expressão |5-x|. Ou seja: escrever essa expressão sem o símbolo de valor absoluto, em termos de x. A única informação dada é a própria expressão |5-x|. Vou tratar x como uma variável real qualquer.

Passo 2

Rápida lembrança do conceito de valor absoluto (aula-mini): para qualquer número real a\), \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a \ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a < 0. \end{cases}
Isto significa que o valor absoluto transforma a\] na sua distância até zero: é sempre não negativo. Essa definição é a ferramenta que usamos para "eliminar o módulo": aplicamos a regra acima com \(a=5-x.]

Passo 3

Aplicando a definição ao caso a=5-x. Primeiro determinamos quando 5-x é não negativo:
5-x \ge 0.
Resolvendo essa desigualdade passo a passo:
5-x \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 5 \ge x \quad\Longleftrightarrow\quad x \le 5.
Portanto, se x \le 5 temos 5-x \ge 0.

Passo 4

Pela definição do valor absoluto, quando x \le 5 vale
|5-x| = 5-x.
Intuição: se x é menor ou igual a 5, então 5-x já é um número positivo (ou zero), e o módulo não precisa “mudar o sinal”.

Passo 5

Agora o outro caso: quando 5-x<0. Isso ocorre quando
5-x<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>5.
Para x>5, pela definição do valor absoluto,
|5-x| = -(5-x).
Distribuindo o sinal negativo, obtemos
-(5-x)= -5 + x = x-5.
Logo, para x>5 vale |5-x| = x-5.

Passo 6

Verificação do ponto limite x=5: substituindo x=5 em qualquer das duas fórmulas dá
5-5=0 \quad\text{e}\quad 5-5=0,
ou seja, |5-5|=0. O caso x=5 é compatível com a escolha x\le5 feita acima.

Passo 7

Dois exemplos numéricos rápidos para sentir a ideia:
  • Se x=3 (que é \le 5), então |5-3| = 5-3 = 2.
  • Se x=7 (que é >5), então |5-7| = 7-5 = 2.
    Percebe que o módulo virou a diferença positiva entre 5 e x, de um jeito ou de outro.

Resposta

|5-x| = \begin{cases} 5-x, & x \le 5,\\[4pt] x-5, & x > 5. \end{cases}]

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