Elimine o módulo das expressões.
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede para eliminar o módulo da expressão
. Ou seja: escrever essa expressão sem o símbolo de valor absoluto, em termos de
. A única informação dada é a própria expressão
. Vou tratar
como uma variável real qualquer.
Passo 2
Rápida lembrança do conceito de valor absoluto (aula-mini): para qualquer número real
Isto significa que o valor absoluto transforma
.]
Passo 3
Aplicando a definição ao caso
. Primeiro determinamos quando
é não negativo:
Resolvendo essa desigualdade passo a passo:
Portanto, se
temos
.
Passo 4
Pela definição do valor absoluto, quando
vale
Intuição: se
é menor ou igual a
, então
já é um número positivo (ou zero), e o módulo não precisa “mudar o sinal”.
Passo 5
Agora o outro caso: quando
. Isso ocorre quando
Para
, pela definição do valor absoluto,
Distribuindo o sinal negativo, obtemos
Logo, para
vale
.
Passo 6
Verificação do ponto limite
: substituindo
em qualquer das duas fórmulas dá
ou seja,
. O caso
é compatível com a escolha
feita acima.
Passo 7
Dois exemplos numéricos rápidos para sentir a ideia:
- Se
(que é ), então . - Se
(que é ), então .
Percebe que o módulo virou a diferença positiva entree , de um jeito ou de outro.