Elimine o módulo das expressões.
a) \left\{\begin{aligned}-x, & \text { se } x \geq 0 ; \\\ x, & \text { se } x<0 .\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida por partes
\begin{cases} -x, & \text{se } x \ge 0,\\[4pt] x, & \text{se } x < 0. \end{cases}
A tarefa é “eliminar o módulo”: ou seja, escrever essa mesma função sem usar o símbolo de valor absoluto |\,\cdot\,|. Vou mostrar uma expressão equivalente, sem |\,\cdot\,|, e provar que ela é igual à função dada.]

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vou usar). Para todo x\in\mathbb{R} vale a identidade
|x|=\sqrt{x^{2}}.
Isto acontece porque \sqrt{x^{2}} é sempre não-negativo e coincide com x quando x\ge 0 e com -x quando x<0. Essa é a maneira padrão de “eliminar” o símbolo de módulo: substituir |x| por \sqrt{x^2}.

Passo 3

Proponho a expressão sem módulo
-\sqrt{x^{2}}.
Agora vamos verificar caso a caso que essa expressão reproduz exatamente a definição por partes dada no enunciado.

Passo 4

Caso x\ge 0: então \sqrt{x^{2}}=x. Substituindo na expressão proposta obtemos
-\sqrt{x^{2}} = -x,
o mesmo valor que está definido no enunciado para x\ge 0.

Passo 5

Caso x<0: então \sqrt{x^{2}}=-x (já que -x>0 nesse caso). Substituindo na expressão proposta obtemos
-\sqrt{x^{2}} = -(-x)=x,
o mesmo valor que está definido no enunciado para x<0.

Passo 6

Concluímos que, para ambos os casos, a expressão -\sqrt{x^{2}} coincide ponto a ponto com a função dada por partes. Portanto eliminamos o módulo com sucesso.

Resposta

-\sqrt{x^{2}}

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