Elimine o módulo das expressões.
a)
a)
Passo 1
O enunciado nos dá a função definida por partes
A tarefa é “eliminar o módulo”: ou seja, escrever essa mesma função sem usar o símbolo de valor absoluto
. Vou mostrar uma expressão equivalente, sem
, e provar que ela é igual à função dada.]
Passo 2
Lembrete importante (fórmula que vou usar). Para todo
vale a identidade
Isto acontece porque
é sempre não-negativo e coincide com
quando
e com
quando
. Essa é a maneira padrão de “eliminar” o símbolo de módulo: substituir
por
.
Passo 3
Proponho a expressão sem módulo
Agora vamos verificar caso a caso que essa expressão reproduz exatamente a definição por partes dada no enunciado.
Passo 4
Caso
: então
. Substituindo na expressão proposta obtemos
o mesmo valor que está definido no enunciado para
.
Passo 5
Caso
: então
(já que
nesse caso). Substituindo na expressão proposta obtemos
o mesmo valor que está definido no enunciado para
.
Passo 6
Concluímos que, para ambos os casos, a expressão
coincide ponto a ponto com a função dada por partes. Portanto eliminamos o módulo com sucesso.