Resolva as equações.
i) \left|x^{2}-4\right|=|5 x-10|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação envolvendo valores absolutos. A equação dada é:
\left|x^{2}-4\right|=|5x-10|.
O que se pede: encontrar todos os números reais x que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão do lado esquerdo é \left|x^{2}-4\right|.
  • A expressão do lado direito é |5x-10|.
  • Procuramos todas as soluções reais x.

Passo 2

Uma ideia-chave (fórmula que vamos usar) para equações com valores absolutos é: para quaisquer números reais A e B,
|A|=|B|\quad\Longleftrightarrow\quad A=B\\ \text{ou}\\ A=-B.
Justificativa curta: elevando ao quadrado, |A|^{2}=|B|^{2} A^{2}=B^{2}, ou seja (A-B)(A+B)=0, então A=B ou A=-B.
Aqui aplicamos com A=x^{2}-4 e B=5x-10. Então temos duas equações a resolver:
x^{2}-4=5x-10
ou
x^{2}-4=-(5x-10).

Passo 3

Resolver a primeira equação
x^{2}-4=5x-10.
Passos algébricos:
x^{2}-4-5x+10=0
x^{2}-5x+6=0.
Agora fatoramos o polinômio quadrático. Procuramos dois números que multiplicam 6 e somam -5; esses números são -2 e -3. Assim:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0.
Portanto as soluções desta equação são
x=2\quad\text{ou}\quad x=3.

Passo 4

Resolver a segunda equação
x^{2}-4=-(5x-10).
Distribuindo o sinal à direita:
x^{2}-4=-5x+10.
Passando tudo para um lado:
x^{2}+5x-14=0.
Aqui aplicamos a fórmula quadrática. Para a equação ax^{2}+bx+c=0 as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta=b^{2}-4ac.
No nosso caso a=1, b=5, c=-14. Calculamos o discriminante:
\Delta=5^{2}-4\cdot1\cdot(-14)=25+56=81.
Logo as raízes são
x=\frac{-5\pm\sqrt{81}}{2}=\frac{-5\pm9}{2}.
Isso dá duas soluções:
x=\frac{-5+9}{2}=\frac{4}{2}=2
e
x=\frac{-5-9}{2}=\frac{-14}{2}=-7.

Passo 5

União das soluções obtidas nas duas equações:
  • Da primeira: x=2,\;x=3.
  • Da segunda: x=2,\;x=-7.
O valor x=2 aparece em ambas; a solução final é o conjunto
\{-7,\,2,\,3\}.

Passo 6

Verificação rápida (substituindo na equação original) para garantir que não há solução extraviada:
Para x=2:
\left|2^{2}-4\right|=\left|4-4\right|=0,\qquad |5\cdot2-10|=|10-10|=0.
OK.
Para x=3:
\left|3^{2}-4\right|=\left|9-4\right|=5,\qquad |5\cdot3-10|=|15-10|=5.
OK.
Para x=-7:
\left|(-7)^{2}-4\right|=\left|49-4\right|=45,\qquad |5\cdot(-7)-10|=|-35-10|=|-45|=45.
OK.
Todas as raízes verificam a equação original.

Resposta

-7
2
3

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