Resolva as seguintes equações e inequações.
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Dado: a inequação com valores absolutos
. - Pedir: encontrar todos os números reais
que satisfazem essa desigualdade.
Vou listar também os pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal (que costumam ser úteis):
-
quando . -
quando .
Passo 2
Conceito e técnica que vou usar (explicação didática):
- Lembre que, para qualquer número real
, é sempre não negativo e representa a distância de até . - Uma propriedade útil é que, para quaisquer números reais
e , Isso vale porque a função é estritamente crescente para ; como , podemos elevar ao quadrado sem mudar a relação estrita. (Se então a desigualdade é impossível, e a desigualdade ao quadrado também fica impossível.) - Portanto, é seguro transformar
em e resolver essa desigualdade algébrica (mais simples que trabalhar com casos de sinais desde o início).
Passo 3
Desenvolvendo a desigualdade ao quadrado passo a passo:
Começo por expandir ambos os quadrados:
Então a desigualdade fica
Subtraio
de ambos os lados para agrupar tudo no lado direito:
Calculo os termos:
Portanto obtemos
Dividindo ambos os lados por
(positivo, então não inverto o sinal):
Factorizando:
Logo a desigualdade é
Passo 4
Resolver a inequação quadrática
(metodologia e interpretação):
- As raízes do polinômio são
e . - Um produto
é positivo quando os fatores têm o mesmo sinal: - ambos positivos:
; - ambos negativos:
.
- ambos positivos:
- Entre as raízes, isto é, para
, os fatores têm sinais opostos e o produto é negativo. - Como a desigualdade é estrita
, os pontos e não entram na solução.
Portanto a solução algébrica é
Passo 5
Verificação rápida por teste de valores (para ganhar confiança):
- Para
(está em ): e , então é verdade. - Para
(está em ): e , então é falso. - Para
(está em ): e , então é verdade.
Tudo confirma a solução encontrada.