Resolva as seguintes equações e inequações.
|x+1|<|2 x-1|.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Dado: a inequação com valores absolutos |x+1|<|2x-1|.
  • Pedir: encontrar todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade.
Vou listar também os pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal (que costumam ser úteis):
  • x+1=0 quando x=-1.
  • 2x-1=0 quando x=\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Conceito e técnica que vou usar (explicação didática):
  • Lembre que, para qualquer número real y, |y| é sempre não negativo e representa a distância de y até 0.
  • Uma propriedade útil é que, para quaisquer números reais A e B, |A|<|B| \quad\Longleftrightarrow\quad A^2<B^2.Isso vale porque a função t\mapsto t^2 é estritamente crescente para t\ge0; como |A|,|B|\ge0, podemos elevar ao quadrado sem mudar a relação estrita. (Se |B|=0 então a desigualdade |A|<|B| é impossível, e a desigualdade ao quadrado também fica impossível.)
  • Portanto, é seguro transformar |x+1|<|2x-1| em (x+1)^2<(2x-1)^2,e resolver essa desigualdade algébrica (mais simples que trabalhar com casos de sinais desde o início).

Passo 3

Desenvolvendo a desigualdade ao quadrado passo a passo:
Começo por expandir ambos os quadrados:
(x+1)^2 = x^2+2x+1, \qquad (2x-1)^2 = 4x^2-4x+1.
Então a desigualdade fica
x^2+2x+1 < 4x^2-4x+1.
Subtraio x^2+2x+1 de ambos os lados para agrupar tudo no lado direito:
0 < 4x^2-4x+1 - (x^2+2x+1).
Calculo os termos:
4x^2-4x+1 - x^2-2x-1 = 3x^2-6x.
Portanto obtemos
0 < 3x^2-6x.
Dividindo ambos os lados por 3 (positivo, então não inverto o sinal):
0 < x^2-2x.
Factorizando:
x^2-2x = x(x-2).
Logo a desigualdade é
x(x-2)>0.

Passo 4

Resolver a inequação quadrática x(x-2)>0 (metodologia e interpretação):
  • As raízes do polinômio são x=0 e x=2.
  • Um produto x(x-2) é positivo quando os fatores têm o mesmo sinal:
    • ambos positivos: x>2;
    • ambos negativos: x<0.
  • Entre as raízes, isto é, para 0<x<2, os fatores têm sinais opostos e o produto é negativo.
  • Como a desigualdade é estrita >\!0, os pontos x=0 e x=2 não entram na solução.
Portanto a solução algébrica é
x\in(-\infty,0)\cup(2,\infty).

Passo 5

Verificação rápida por teste de valores (para ganhar confiança):
  • Para x=-1 (está em (-\infty,0)): |-1+1|=0 e |2(-1)-1|=|-3|=3, então 0<3 é verdade.
  • Para x=1 (está em (0,2)): |1+1|=2 e |2\cdot1-1|=1, então 2<1 é falso.
  • Para x=3 (está em (2,\infty)): |3+1|=4 e |6-1|=5, então 4<5 é verdade.
Tudo confirma a solução encontrada.

Resposta

\;(-\infty,0)\cup(2,\infty)

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