Resolva as seguintes equações e inequações.
|x|=x+1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
|x|=x+1.
Ou seja: encontrar todos os números reais x que satisfazem essa igualdade. As informações relevantes são exclusivamente a equação acima e a ideia implícita de que x é um número real.

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição prática do valor absoluto (isso é essencial para resolver):
  • Para todo x\in\mathbb{R}\), \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Explicação rápida: o valor absoluto mede a distância de x\] até zero, então é \(x quando x já é não negativo, e é -x quando x é negativo (para tornar o resultado positivo). Para resolver equações com |x| usamos exatamente essa divisão em casos.]

Passo 3

Aplicar o caso x\ge 0. Se x\ge 0 então |x|=x. Substituindo na equação:
x = x + 1.
Agora resolvemos essa igualdade: subtrair x dos dois lados dá
0 = 1,
o que é uma contradição. Conclusão: não existem soluções com x\ge 0.

Passo 4

Aplicar o caso x<0. Se x<0 então |x|=-x. Substituindo na equação:
-x = x + 1.
Agora resolvemos para x. Somando -x dos dois lados (ou movendo termos) obtemos
-2x = 1.
Dividindo por -2,
x = -\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Verificar se a solução encontrada satisfaz a hipótese do caso: -\dfrac{1}{2}<0, portanto está dentro de x<0. Fazer checagem direta na equação original:
\left| -\dfrac{1}{2} \right| = \dfrac{1}{2}, \qquad -\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2},
como os dois lados coincidem, a solução é válida.

Resposta

x=-\dfrac{1}{2}

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