(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x= e^1
y=e^-1
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
y=e^-1
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente eliminar o parâmetro e encontrar uma equação cartesiana da curva definida por $ x = e^{t} $ e $ y = e^{-t} $. Depois, precisamos esboçar essa curva e mostrar a direção em que ela é traçada conforme $ t $ aumenta. Vamos usar conhecimentos de funções exponenciais e manipulação de equações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “eliminar o parâmetro”. Aqui, temos duas equações paramétricas em termos de $ t $. Nosso objetivo é eliminar $ t $ para relacionar $ x $ e $ y $ diretamente.
Passo 3
Vamos começar com as equações dadas:
Queremos expressar $ y $ em termos de $ x $ ou vice-versa, sem o $ t $.
Passo 4
Observando a primeira equação, podemos resolver para $ t $:
Agora, vamos substituir $ t $ na segunda equação:
Passo 5
Lembre-se de que $ e^{\ln(a)} = a $. Então:
Portanto, a relação entre $ x $ e $ y $ é $ y = \frac{1}{x} $.
Passo 6
Essa é a equação cartesiana da curva. Agora, vamos esboçar essa curva e indicar a direção em que ela é percorrida quando $ t $ aumenta.
Passo 7
A equação $ y = \frac{1}{x} $ representa uma hipérbole nos quadrantes I e III. Como $ x = e^{t} $, e a função exponencial $ e^{t} $ é sempre positiva, estamos interessados apenas no quadrante I, onde $ x > 0 $ e $ y > 0 $.
Passo 8
Para entender a direção, vamos analisar o comportamento de $ x $ e $ y $ conforme $ t $ aumenta:
- Quando $ t $ aumenta, $ x = e^{t} $ aumenta.
- Consequentemente, $ y = e^{-t} = \frac{1}{e^{t}} $ diminui.
Então, conforme $ t $ cresce, nos movemos da esquerda para a direita, e de cima para baixo na hipérbole.
Resposta
A equação cartesiana da curva é $ y = \frac{1}{x} $. Ao esboçar a hipérbole no primeiro quadrante, observamos que à medida que $ t $ aumenta, o ponto percorre a curva da esquerda para a direita, movendo-se de cima para baixo.