A equação y 1 = e − 3 x é solução de qual das equações diferenciais abaixo :
A) y ′ + 3 y = 0
B) y ′ − 3 y = 0
C) 3 y ′ − 3 y = 0
D) 3 y ′ − y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função $ y_1 = e^{-3x} $ e pergunta qual das equações diferenciais listadas ela resolve. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de $ y_1 $ e substituir nas opções para ver qual delas a satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ y_1 $. A função é $ y_1 = e^{-3x} $. Sabemos que a derivada de $ e^{kx} $ em relação a $ x $ é $ k e^{kx} $. Então:
y1

Passo 3

Agora que temos $ y_1 $ e $ y’_1 $, vamos verificar qual das opções satisfaz a equação quando substituímos esses valores.
Opção A: $ y’ + 3y = 0 $
Substituindo:
y1
y'1
Opção B: $ y’ - 3y = 0 $
Substituindo:
y' + 3y = 0
Opção C: $ 3y’ - 3y = 0 $
Substituindo:
-3 e^-3x + 3 e^-3x = 0
Opção D: $ 3y’ - y = 0 $
Substituindo:
0 = 0 (Verdadeiro)

Resposta

A função $ y_1 = e^{-3x} $ satisfaz a Opção A: $ y’ + 3y = 0 $.

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