Para as elipses dadas, encontre vértices, focos e excentricidade:
x^{2}+4 y^{2}-6 x+8 y+9=0

Passo 1

O enunciado dá a equação da elipse
x^{2}+4y^{2}-6x+8y+9=0
e pede que eu encontre os vértices, os focos e a excentricidade.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a equação está em coordenadas x,y, não há termo misto xy (logo não há rotação), e temos termos quadráticos em x e em y com coeficientes diferentes ( 1 e 4).

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a elipse na forma padrão completando quadrados. Agrupo termos em x e em y:
x^{2}-6x \quad\text{e}\quad 4y^{2}+8y.
Faço a completção de quadrado para cada um.
Para x: tomo metade do coeficiente de x, que é -6. Metade é -3 e o quadrado é 9. Assim
x^{2}-6x = (x-3)^{2}-9.
Para y: fatoro o 4 e completo o quadrado dentro do parêntese. Dentro fica y^{2}+2y; metade de 2 é 1 e o quadrado é 1. Então
4y^{2}+8y = 4\bigl(y^{2}+2y\bigr) = 4\bigl((y+1)^{2}-1\bigr)=4(y+1)^{2}-4.

Passo 3

Substituo essas expressões na equação original:
(x-3)^{2}-9 + 4(y+1)^{2}-4 +9 = 0.
Agora somam-se as constantes -9-4+9 = -4, então
(x-3)^{2}+4(y+1)^{2}-4=0.
Isolo o termo constante e divido por 4 para obter a forma padrão:
(x-3)^{2}+4(y+1)^{2}=4
\Rightarrow \frac{(x-3)^{2}}{4}+\frac{(y+1)^{2}}{1}=1.

Passo 4

Interpretação da forma padrão. A equação está em
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
onde (h,k) é o centro, a^{2} é o denominador do primeiro termo e b^{2} do segundo termo. Aqui:
(h,k)=(3,-1),\qquad a^{2}=4,\qquad b^{2}=1.
Como a^{2}=4>b^{2}=1, o semieixo maior tem comprimento a=\sqrt{4}=2 e está ao longo do eixo horizontal (direção x). O semieixo menor é b=\sqrt{1}=1.
Explicando em palavras: os vértices ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo maior (horizontal), e os co-vértices ficam a distância b ao longo do eixo menor (vertical).

Passo 5

Cálculo dos vértices. Centro (3,-1). Como o eixo maior é horizontal, os vértices são:
(3\pm a,\,-1)=(3\pm 2,\,-1).
Portanto os vértices são (5,-1) e (1,-1).
Os co-vértices (úteis para visualização) são
(3,\,-1\pm b)=(3,0)\quad\text{e}\quad(3,-2).

Passo 6

Cálculo dos focos. Para elipse com eixo maior horizontal usamos a relação
c^{2}=a^{2}-b^{2},
onde c é a distância do centro até cada foco. Aqui
c^{2}=4-1=3 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{3}.
Como o eixo maior é horizontal, os focos estão em (3\pm c,\,-1), ou seja:
\bigl(3+\sqrt{3},\,-1\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(3-\sqrt{3},\,-1\bigr).

Passo 7

Cálculo da excentricidade. A excentricidade e de uma elipse é definida por
e=\frac{c}{a},
com 0<e<1. Substituindo c=\sqrt{3} e a=2,
e=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

Vértices: (5,-1) e (1,-1)
Focos: (3+\sqrt{3},-1) e (3-\sqrt{3},-1)
Excentricidade: e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

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