Para as elipses dadas, encontre vértices, focos e excentricidade:
Passo 1
O enunciado dá a equação da elipse
e pede que eu encontre os vértices, os focos e a excentricidade.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a equação está em coordenadas , não há termo misto
(logo não há rotação), e temos termos quadráticos em
e em
com coeficientes diferentes (
e
).
Informações relevantes extraídas do enunciado: a equação está em coordenadas
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a elipse na forma padrão completando quadrados. Agrupo termos em
e em
:
Faço a completção de quadrado para cada um.
Para
: tomo metade do coeficiente de
, que é
. Metade é
e o quadrado é
. Assim
Para
: fatoro o
e completo o quadrado dentro do parêntese. Dentro fica
; metade de
é
e o quadrado é
. Então
Passo 3
Substituo essas expressões na equação original:
Agora somam-se as constantes
, então
Isolo o termo constante e divido por
para obter a forma padrão:
Passo 4
Interpretação da forma padrão. A equação está em
onde
é o centro,
é o denominador do primeiro termo e
do segundo termo. Aqui:
Como
, o semieixo maior tem comprimento
e está ao longo do eixo horizontal (direção
). O semieixo menor é
.
Explicando em palavras: os vértices ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo maior (horizontal), e os co-vértices ficam a distância
ao longo do eixo menor (vertical).
Passo 5
Cálculo dos vértices. Centro
. Como o eixo maior é horizontal, os vértices são:
Portanto os vértices são
e
.
Os co-vértices (úteis para visualização) são
Os co-vértices (úteis para visualização) são
Passo 6
Cálculo dos focos. Para elipse com eixo maior horizontal usamos a relação
onde
é a distância do centro até cada foco. Aqui
Como o eixo maior é horizontal, os focos estão em
, ou seja:
Passo 7
Cálculo da excentricidade. A excentricidade
de uma elipse é definida por
com
. Substituindo
e
,
Resposta
Vértices:
e
Focos: e
Excentricidade:
Focos:
Excentricidade: