Para as parábolas dadas, encontre vértice, foco e diretriz:
2 x^{2}+8 x-y+7=0

Passo 1

O enunciado dá a parábola definida pela equação
2x^{2}+8x-y+7=0
e pede que eu encontre o vértice, o foco e a diretriz.
Informações relevantes que já tenho diretamente do enunciado:
2x^{2}+8x-y+7=0.
O que preciso achar:
  • vértice (h,k);
  • foco (coordenadas);
  • equação da diretriz (uma reta).

Passo 2

Primeiro vou colocar a equação na forma padrão de uma parábola, isolando y e completando o quadrado em x. Isolo y:
y = 2x^{2}+8x+7.
Agora fatoro 2 dos termos quadrático e linear em x:
y = 2\bigl(x^{2}+4x\bigr)+7.
Para completar o quadrado em x^{2}+4x, lembro que (x+a)^{2}=x^{2}+2ax+a^{2}. Aqui 2a=4, logo a=2 e a^{2}=4. Então:
x^{2}+4x = (x+2)^{2}-4.
Substituo na expressão de y:
y = 2\bigl((x+2)^{2}-4\bigr)+7.

Passo 3

Faço a multiplicação e simplifico:
y = 2(x+2)^{2}-8+7 = 2(x+2)^{2}-1.
Reescrevo isolando o termo que envolve y:
y+1 = 2(x+2)^{2}.
Coloco na forma padrão de parábola com eixo vertical (parábola "com os quadrados em x"):
(x+2)^{2} = \tfrac{1}{2}(y+1).
A forma padrão conhecida é
(x-h)^{2}=4p(y-k),
onde (h,k) é o vértice e p é a distância do vértice ao foco (positiva se a parábola abre para cima). Comparando com a nossa equação, identifico:
h=-2,\qquad k=-1,\qquad 4p=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Calculo p a partir de 4p=\tfrac{1}{2}:
p=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}.
Portanto o vértice é
(h,k)=(-2,-1).
Explicação curta do porquê: na forma (x-h)^{2}=4p(y-k) o vértice é o ponto (h,k) porque quando x=h o lado esquerdo é zero, logo y=k é o ponto mais baixo (ou mais alto) da parábola.

Passo 5

Agora calculo o foco e a diretriz:
  • Para parábolas na forma (x-h)^{2}=4p(y-k) com p>0, a parábola abre para cima; o foco fica em (h,\,k+p) e a diretriz é a reta y=k-p.
    Já temos p=\tfrac{1}{8}, então o foco é
\bigl(h,\,k+p\bigr)=\bigl(-2,\,-1+\tfrac{1}{8}\bigr)=\bigl(-2,\,-\tfrac{7}{8}\bigr).
A diretriz é
y=k-p=-1-\tfrac{1}{8}=-\tfrac{9}{8}.
Breve interpretação geométrica: o foco é o ponto para o qual os segmentos de reta traçados de qualquer ponto da parábola são refletidos de modo a formar trajetórias paralelas ao eixo; a diretriz é a reta que, junto com o foco, define a parábola como o conjunto dos pontos equidistantes do foco e da diretriz.

Passo 6

Pequeno exemplo para fixar (apenas para lembrar a regra): se eu tivesse y=x^{2}, escrevo (x-0)^{2}=1\cdot(y-0), daí 4p=1 e p=\tfrac{1}{4}. Vértice (0,0), foco (0,\tfrac{1}{4}), diretriz y=-\tfrac{1}{4}. Isso é análogo ao que fiz acima, só com constantes diferentes.

Resposta

Vértice: (-2,-1)
Foco: (-2,-\tfrac{7}{8})
Diretriz: y=-\tfrac{9}{8}

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