Para as parábolas dadas, encontre vértice, foco e diretriz:
Passo 1
O enunciado dá a parábola definida pela equação
e pede que eu encontre o vértice, o foco e a diretriz.
Informações relevantes que já tenho diretamente do enunciado:
Informações relevantes que já tenho diretamente do enunciado:
O que preciso achar:
- vértice
; - foco (coordenadas);
- equação da diretriz (uma reta).
Passo 2
Primeiro vou colocar a equação na forma padrão de uma parábola, isolando
e completando o quadrado em
. Isolo
:
Agora fatoro
dos termos quadrático e linear em
:
Para completar o quadrado em
, lembro que
. Aqui
, logo
e
. Então:
Substituo na expressão de
:
Passo 3
Faço a multiplicação e simplifico:
Reescrevo isolando o termo que envolve
:
Coloco na forma padrão de parábola com eixo vertical (parábola "com os quadrados em
"):
A forma padrão conhecida é
onde
é o vértice e
é a distância do vértice ao foco (positiva se a parábola abre para cima). Comparando com a nossa equação, identifico:
Passo 4
Calculo
a partir de
:
Portanto o vértice é
Explicação curta do porquê: na forma
o vértice é o ponto
porque quando
o lado esquerdo é zero, logo
é o ponto mais baixo (ou mais alto) da parábola.
Passo 5
Agora calculo o foco e a diretriz:
- Para parábolas na forma
com , a parábola abre para cima; o foco fica em e a diretriz é a reta .
Já temos, então o foco é
A diretriz é
Breve interpretação geométrica: o foco é o ponto para o qual os segmentos de reta traçados de qualquer ponto da parábola são refletidos de modo a formar trajetórias paralelas ao eixo; a diretriz é a reta que, junto com o foco, define a parábola como o conjunto dos pontos equidistantes do foco e da diretriz.
Passo 6
Pequeno exemplo para fixar (apenas para lembrar a regra): se eu tivesse
, escrevo
, daí
e
. Vértice
, foco
, diretriz
. Isso é análogo ao que fiz acima, só com constantes diferentes.
Resposta
Vértice:
Foco:
Diretriz:
Foco:
Diretriz: