Para as hipérboles dadas, encontre vértices, focos e assíntotas:
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1

Passo 1

O enunciado pede, para a hipérbole dada, que encontremos os vértices, os focos e as assíntotas. A hipérbole fornecida é
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1.
Não há deslocamento de centro (a hipérbole está centrada na origem), e o termo positivo é o de x^{2}, então a hipérbole tem eixo transverso ao longo do eixo x.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão e identificar a e b.
A forma padrão de uma hipérbole com eixo transverso em x é
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Comparando com a equação dada, temos
a^{2}=9,\qquad b^{2}=16,
portanto
a=3,\qquad b=4.
Explicação didática: a é a semidistância do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso; b é o parâmetro que aparece no segundo termo e está relacionado à inclinação das assíntotas.

Passo 3

Determinar o centro e os vértices.
Como a equação não tem termos de x e nem de y deslocando a origem, o centro é (0,0). Para a forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 os vértices ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo x, isto é, em
(\pm a,0).
Substituindo a=3, os vértices são
(\pm 3,0).
Comentário intuitivo: os vértices são os pontos onde a hipérbole cruza seu eixo transverso (a “parte principal” da hipérbole).

Passo 4

Encontrar os focos.
Para a hipérbole na forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 os focos estão sobre o eixo transverso em (\pm c,0), onde c satisfaz a relação
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Essa relação aparece da geometria da hipérbole (é análoga à relação do elipse, que é c^{2}=a^{2}-b^{2}, mas para hipérbole os termos somam). Substituindo:
c^{2}=9+16=25\quad\Rightarrow\quad c=5.
Portanto os focos são
(\pm 5,0).
Breve lembrete prático: você sempre calcula c com c^{2}=a^{2}+b^{2} para hipérboles da forma x^{2}/a^{2}-y^{2}/b^{2}=1.

Passo 5

Determinar as assíntotas e justificar a forma.
As assíntotas de uma hipérbole centrada na origem na forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 são as retas que a curva se aproxima quando |x|\to\infty. Uma maneira simples e elegante de obter as equações é dividir a equação por x^{2} e considerar o comportamento quando |x| é grande:
\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=\frac{1}{x^{2}}.
Ao fazer |x|\to\infty, o termo \dfrac{1}{x^{2}} tende a 0, então ficamos com
\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=0.
Dessa equação segue
\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}\quad\Rightarrow\quad \frac{y}{x}=\pm\frac{b}{a}.
Assim as assíntotas são as retas
y=\pm\frac{b}{a}\,x.
Substituindo a=3 e b=4, obtemos as assíntotas
y=\pm\frac{4}{3}\,x.

Passo 6

Resumo final (repetindo os resultados de maneira clara e pronta para a prova):
  • Centro: (0,0).
  • Vértices: (\pm 3,0).
  • Focos: (\pm 5,0).
  • Assíntotas: y=\pm\frac{4}{3}x.
Força aí — se quiser faço um esboço rápido da hipérbole para você visualizar onde ficam esses pontos e as retas. 😊

Resposta

(\pm 3,0)
(\pm 5,0)
y=\pm\frac{4}{3}x

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