Para as hipérboles dadas, encontre vértices, focos e assíntotas:
Passo 1
O enunciado pede, para a hipérbole dada, que encontremos os vértices, os focos e as assíntotas. A hipérbole fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Não há deslocamento de centro (a hipérbole está centrada na origem), e o termo positivo é o de
, então a hipérbole tem eixo transverso ao longo do eixo
.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão e identificar
e
.
A forma padrão de uma hipérbole com eixo transverso em
é
Comparando com a equação dada, temos
portanto
Explicação didática:
é a semidistância do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso;
é o parâmetro que aparece no segundo termo e está relacionado à inclinação das assíntotas.
Passo 3
Determinar o centro e os vértices.
Como a equação não tem termos de
e nem de
deslocando a origem, o centro é
. Para a forma
os vértices ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo
, isto é, em
Substituindo
, os vértices são
Comentário intuitivo: os vértices são os pontos onde a hipérbole cruza seu eixo transverso (a “parte principal” da hipérbole).
Passo 4
Encontrar os focos.
Para a hipérbole na forma
os focos estão sobre o eixo transverso em
, onde
satisfaz a relação
Essa relação aparece da geometria da hipérbole (é análoga à relação do elipse, que é
, mas para hipérbole os termos somam). Substituindo:
Portanto os focos são
Breve lembrete prático: você sempre calcula
com
para hipérboles da forma
.
Passo 5
Determinar as assíntotas e justificar a forma.
As assíntotas de uma hipérbole centrada na origem na forma
são as retas que a curva se aproxima quando
. Uma maneira simples e elegante de obter as equações é dividir a equação por
e considerar o comportamento quando
é grande:
Ao fazer
, o termo
tende a
, então ficamos com
Dessa equação segue
Assim as assíntotas são as retas
Substituindo
e
, obtemos as assíntotas
Passo 6
Resumo final (repetindo os resultados de maneira clara e pronta para a prova):
- Centro:
. - Vértices:
. - Focos:
. - Assíntotas:
.
Força aí — se quiser faço um esboço rápido da hipérbole para você visualizar onde ficam esses pontos e as retas. 😊