1- A viga rígida está apoiada em suas extremidades por dois tirantes de aço
. Os diâmetros das hastes são
e
. Se a tensão admissível para o aço for
, determine a intensidade da carga distribuída w e seu comprimento x sobre a viga para que esta permaneça na posição horizontal quando carregada.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes dados da imagem):
- Distância entre os apoios da viga (comprimento total da viga entre A e C):
. - Altura dos tirantes (hastes) do teto até a viga (mostrado na figura para o tirante direito):
. - Diâmetros das hastes (fornecidos no enunciado e fig.):
e . - Módulo de Young do aço:
. - Tensão admissível do aço:
. - A carga é uma carga distribuída de intensidade
que atua sobre uma região da viga de comprimento medida a partir da extremidade esquerda (ou seja, a carga total é , aplicada sobre o trecho esquerdo da viga).
O enunciado pede: determinar a intensidade da carga distribuídae o comprimento dessa distribuição para que a viga permaneça horizontal quando carregada.
Passo 2
Entendendo a condição para a viga permanecer horizontal (intuição física e condição matemática).
- A viga é rígida: isso significa que se as duas extremidades verticais (as hastes A e C) sofrerem alongamentos diferentes, a viga girará. Para a viga permanecer horizontal os deslocamentos verticais das duas extremidades devem ser iguais.
- As hastes trabalham basicamente por tração axial. Para uma barra axial, a deformação axial (alongamento) é dada por:
onde
é a força axial (tração),
é o comprimento da haste,
é a área da secção transversal e
é o módulo de Young.
- Se as duas hastes têm o mesmo comprimento
(a figura mostra alturas iguais), e o mesmo (ambas de aço), a condição implica
ou seja, as tensões axiais nas duas hastes são iguais. Em consequência, as forças axiais estão na razão das áreas:
Esta é a relação que liga as forças nos tirantes quando a viga permanece horizontal.
Passo 3
Expressar o equilíbrio estático da viga (forças e momentos).
- Seja
a força de tração no tirante esquerdo (AB) e a do tirante direito (CD). - Equilíbrio vertical (somatório de forças verticais nulo):
- Equilíbrio de momentos em torno da extremidade esquerda (ou qualquer ponto). Tomando momentos em torno do ponto esquerdo da viga, a força
cria um momento que deve equilibrar o momento da carga resultante . A distância entre os tirantes é . O resultado da carga distribuída atua em seu centróide, que está à distância da extremidade esquerda. Assim:
Essas duas equações serão usadas junto com a relação de proporção das forças obtida pelo critério de deformações iguais.
Passo 4
Calcular as áreas das secções transversais das hastes (conversão das unidades mm→m).
- Área de uma seção circular:
. - Converter diâmetros para metros:
, . - Calcular:
Passo 5
Obter a razão entre as forças
e
usando as áreas (condição de deformações iguais).
Definindo
, temos
.
Passo 6
Determinar
a partir do equilíbrio de momentos usando
.
- Do equilíbrio de forças:
. - Inserir em equilíbrio de momentos
:
- Dividindo por
(não nulo) e isolando :
- Substituindo
:
Arredondando com razoável precisão:
.
Passo 7
Determinar
usando a tensão admissível (ligação entre força e área).
- Observação importante (muito útil): como a condição de
igual implica , as tensões axiais nas duas hastes são iguais. Logo a tensão admissível limita igualmente ambas as hastes. Assim, o máximo que cada haste pode suportar é
- A carga resultante
é a soma:
- Calcular numericamente: primeiro somar as áreas
- Multiplicar pela tensão admissível
:
- Finalmente a intensidade
da carga distribuída é . Usando :
Passo 8
Resumo físico e verificação rápida (sanidade dos resultados).
- O comprimento
da região carregada ficou em torno de (menos que o vão total ), plausível. - A intensidade
é cerca de , o que levando em conta a pequena área das hastes gera reações totais da ordem de ; compatível com as tensões admissíveis indicadas. - Observação conceitual: a hipótese de que as hastes têm o mesmo comprimento foi usada para afirmar
. Se as alturas fossem diferentes, a relação envolveria os comprimentos e ainda ; a figura sugere alturas iguais.