1- A viga rígida está apoiada em suas extremidades por dois tirantes de aço (E=200 \mathrm{GPa}). Os diâmetros das hastes são d_{A B}=12 \mathrm{~mm} e d_{C D}=7,5 \mathrm{~mm}. Se a tensão admissível para o aço for \sigma_{a d m}=115 \mathrm{MPa}, determine a intensidade da carga distribuída w e seu comprimento x sobre a viga para que esta permaneça na posição horizontal quando carregada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes dados da imagem):
  • Distância entre os apoios da viga (comprimento total da viga entre A e C): 2,4\\ \text{m}.
  • Altura dos tirantes (hastes) do teto até a viga (mostrado na figura para o tirante direito): 1,8\\ \text{m}.
  • Diâmetros das hastes (fornecidos no enunciado e fig.): d_{AB}=12\\ \text{mm} e d_{CD}=7{,}5\\ \text{mm}.
  • Módulo de Young do aço: E=200\\ \text{GPa}.
  • Tensão admissível do aço: \sigma_{adm}=115\\ \text{MPa}.
  • A carga é uma carga distribuída de intensidade w que atua sobre uma região da viga de comprimento x medida a partir da extremidade esquerda (ou seja, a carga total é W=w x, aplicada sobre o trecho esquerdo da viga).
    O enunciado pede: determinar a intensidade da carga distribuída w e o comprimento x dessa distribuição para que a viga permaneça horizontal quando carregada.

Passo 2

Entendendo a condição para a viga permanecer horizontal (intuição física e condição matemática).
  • A viga é rígida: isso significa que se as duas extremidades verticais (as hastes A e C) sofrerem alongamentos diferentes, a viga girará. Para a viga permanecer horizontal os deslocamentos verticais das duas extremidades devem ser iguais.
  • As hastes trabalham basicamente por tração axial. Para uma barra axial, a deformação axial (alongamento) é dada por:
\delta=\frac{P L}{A E},
onde P é a força axial (tração), L é o comprimento da haste, A é a área da secção transversal e E é o módulo de Young.
  • Se as duas hastes têm o mesmo comprimento L (a figura mostra alturas iguais), e o mesmo E (ambas de aço), a condição \delta_{AB}=\delta_{CD} implica
\frac{T_{AB}}{A_{AB}}=\frac{T_{CD}}{A_{CD}},
ou seja, as tensões axiais nas duas hastes são iguais. Em consequência, as forças axiais estão na razão das áreas:
\frac{T_{AB}}{T_{CD}}=\frac{A_{AB}}{A_{CD}}.
Esta é a relação que liga as forças nos tirantes quando a viga permanece horizontal.

Passo 3

Expressar o equilíbrio estático da viga (forças e momentos).
  • Seja T_1 a força de tração no tirante esquerdo (AB) e T_2 a do tirante direito (CD).
  • Equilíbrio vertical (somatório de forças verticais nulo):
T_1+T_2 = W = w x.
  • Equilíbrio de momentos em torno da extremidade esquerda (ou qualquer ponto). Tomando momentos em torno do ponto esquerdo da viga, a força T_2 cria um momento que deve equilibrar o momento da carga resultante W. A distância entre os tirantes é 2{,}4\\ \text{m}. O resultado da carga distribuída W atua em seu centróide, que está à distância x/2 da extremidade esquerda. Assim:
T_2\cdot 2{,}4 - W\cdot\frac{x}{2}=0.
Essas duas equações serão usadas junto com a relação de proporção das forças obtida pelo critério de deformações iguais.

Passo 4

Calcular as áreas das secções transversais das hastes (conversão das unidades mm→m).
  • Área de uma seção circular: A=\dfrac{\pi d^2}{4}.
  • Converter diâmetros para metros: d_{AB}=12\\ \text{mm}=0{,}012\\ \text{m}, d_{CD}=7{,}5\\ \text{mm}=0{,}0075\\ \text{m}.
  • Calcular:
A_{AB}=\frac{\pi (0{,}012)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}000036=0{,}000113097\\ \text{m}^2\quad(\text{aprox.})
A_{CD}=\frac{\pi (0{,}0075)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}0000140625=0{,}0000441799\\ \text{m}^2\quad(\text{aprox.})

Passo 5

Obter a razão entre as forças T_1 e T_2 usando as áreas (condição de deformações iguais).
\frac{T_1}{T_2}=\frac{A_{AB}}{A_{CD}}=\frac{0{,}000113097}{0{,}0000441799}\approx 2{,}56.
Definindo k=\dfrac{T_1}{T_2}\approx 2{,}56, temos T_1=k T_2.

Passo 6

Determinar x a partir do equilíbrio de momentos usando T_1=kT_2.
  • Do equilíbrio de forças: W=T_1+T_2=(k+1)T_2.
  • Inserir em equilíbrio de momentos T_2\cdot 2{,}4 - W\cdot \dfrac{x}{2}=0:
T_2\cdot 2{,}4 - (k+1)T_2\cdot\frac{x}{2}=0.
  • Dividindo por T_2 (não nulo) e isolando x:
2{,}4 - (k+1)\frac{x}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{2\cdot 2{,}4}{k+1}=\frac{4{,}8}{k+1}.
  • Substituindo k\approx 2{,}56:
x=\frac{4{,}8}{3{,}56}\approx 1{,}3483\\ \text{m}.
Arredondando com razoável precisão: x\approx 1{,}35\\ \text{m}.

Passo 7

Determinar w usando a tensão admissível (ligação entre força e área).
  • Observação importante (muito útil): como a condição de \delta igual implica T_1/A_{AB}=T_2/A_{CD}, as tensões axiais nas duas hastes são iguais. Logo a tensão admissível \sigma_{adm} limita igualmente ambas as hastes. Assim, o máximo que cada haste pode suportar é
T_1=\sigma_{adm}\,A_{AB},\qquad T_2=\sigma_{adm}\,A_{CD}.
  • A carga resultante W é a soma:
W=T_1+T_2=\sigma_{adm}\,(A_{AB}+A_{CD}).
  • Calcular numericamente: primeiro somar as áreas
A_{AB}+A_{CD}\approx 0{,}000113097+0{,}0000441799=0{,}0001572769\\ \text{m}^2.
  • Multiplicar pela tensão admissível \sigma_{adm}=115\\ \text{MPa}=115\times 10^6\\ \text{Pa}:
W=115\times10^{6}\cdot 0{,}0001572769\approx 18086{,}9\\ \text{N}\approx 18{,}09\\ \text{kN}.
  • Finalmente a intensidade w da carga distribuída é w=W/x. Usando x\approx 1{,}3483\\ \text{m}:
w=\frac{18086{,}9}{1{,}3483}\approx 13417{,}2\\ \text{N/m}\approx 13{,}42\\ \text{kN/m}.

Passo 8

Resumo físico e verificação rápida (sanidade dos resultados).
  • O comprimento x da região carregada ficou em torno de 1{,}35\\ \text{m} (menos que o vão total 2{,}4\\ \text{m}), plausível.
  • A intensidade w é cerca de 13{,}4\\ \text{kN/m}, o que levando em conta a pequena área das hastes gera reações totais da ordem de 18{,}1\\ \text{kN}; compatível com as tensões admissíveis indicadas.
  • Observação conceitual: a hipótese de que as hastes têm o mesmo comprimento foi usada para afirmar \dfrac{T_1}{A_1}=\dfrac{T_2}{A_2}. Se as alturas fossem diferentes, a relação envolveria os comprimentos e ainda E; a figura sugere alturas iguais.

Resposta

w \approx 13{,}42\\ \text{kN/m}
x \approx 1{,}35\\ \text{m}

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