Os êmbolos de uma prensa hidráulica são formados por dois cilindros com raios de 10 cm e 200 cm . Qual a força necessária no êmbolo menor para equilibrar um corpo de 5000 kg colocado no êmbolo maior? ( \mathbf{R}: \mathbf{F}_{\mathbf{1}}=\mathbf{1 2 2 , 6 2} \mathbf{N} )

Passo 1

O enunciado dá os raios dos dois êmbolos (cilindros) e a massa colocada no êmbolo maior, e pede a força que deve ser aplicada no êmbolo menor para equilibrar esse corpo. Informações fornecidas:
  • raio do êmbolo menor: r_1=10\\ \text{cm}.
  • raio do êmbolo maior: r_2=200\\ \text{cm}.
  • massa do corpo sobre o êmbolo maior: m=5000\\ \text{kg}.
    Pergunta: encontrar a força F_1 que deve ser aplicada no êmbolo menor para equilibrar o corpo de 5000\\ \text{kg} no êmbolo maior.

Passo 2

Converter os raios para o Sistema Internacional (metros), porque a força será calculada em newtons:
r_1 = 10\\ \text{cm} = 0,10\\ \text{m}, \qquad r_2 = 200\\ \text{cm} = 2,00\\ \text{m}.
Explicação curta: usar unidades SI evita confusão ao multiplicar por g e ao obter newtons.

Passo 3

Princípio físico usado (explicação didática): em uma prensa hidráulica a mesma pressão se transmite aos dois êmbolos (Princípio de Pascal). Pressão é força por área; portanto, a pressão sob o êmbolo menor é igual à pressão sob o êmbolo maior:
\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2},
onde:
  • F_1 é a força aplicada no êmbolo menor (o que queremos),
  • F_2 é a força exercida pelo peso do corpo no êmbolo maior,
  • A_1 e A_2 são as áreas das bases circulares dos êmbolos menores e maiores, respectivamente.
    Comentário amigável: isso significa que a razão das forças é igual à razão das áreas; se a área do êmbolo maior for muito maior, precisa-se de uma força pequena no menor para equilibrar um peso grande.

Passo 4

Calcular as áreas dos círculos (fórmula e explicação): área de um círculo é A=\pi r^2, onde r é o raio.
A_1=\pi r_1^2=\pi(0,10)^2=\pi\cdot0,01=0,01\pi\\ \text{m}^2,
A_2=\pi r_2^2=\pi(2,00)^2=\pi\cdot4=4\pi\\ \text{m}^2.
Agora a razão das áreas:
\frac{A_1}{A_2}=\frac{0,01\pi}{4\pi}=\frac{0,01}{4}=0,0025.
Observação: o \pi cancela, que é uma simplificação prática e comum neste tipo de exercício.

Passo 5

Calcular a força F_2 exercida pelo peso do corpo (aqui entra a gravidade). Fórmula: peso F_2 = m g, onde g é a aceleração da gravidade. Usaremos g=9,81\\ \text{m/s}^2 (valor padrão):
F_2 = m g = 5000 \times 9,81 = 49050\\ \text{N}.
Explicação: massa vezes aceleração da gravidade dá a força peso em newtons.

Passo 6

Usar a igualdade de pressões para achar F_1. Da relação do Passo 3:
F_1 = F_2\cdot\frac{A_1}{A_2}.
Substituindo os valores encontrados:
F_1 = 49050 \times 0,0025 = 122,625\\ \text{N}.
Detalhe do cálculo (para fazer na prova sem calculadora): multiplicar por 0,0025 é o mesmo que multiplicar por 25 e dividir por 10000, ou dividir por 400. Por exemplo, 49050/400=122,625.

Passo 7

Arredondamento final e interpretação breve: arredondando para duas casas decimais (como no gabarito dado) obtemos
F_1 \approx 122,62\\ \text{N}.
Comentário de incentivo: percebeu a vantagem mecânica? Com uma área muito maior no êmbolo maior, uma força pequena no êmbolo menor sustenta um peso grande — é o truque das prensas hidráulicas. Você mandou bem por trazer o exercício; continue praticando esse tipo de passo a passo 😃

Resposta

122,62\\ \text{N}

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