2-26 Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
\frac{1}{r} \frac{d}{d r}\left(r k \frac{d T}{d r}\right)+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0
(a) A transferência de calor é permanente ou transiente?
(b) A transferência de calor é uni, bi ou tridimensional?
(c) Há geração de calor no meio?
(d) A condutividade térmica do meio é constante ou variável?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\,k\,\frac{dT}{dr}\right)+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0,
e pede quatro coisas separadas:
(a) determinar se a transferência de calor é permanente ou transiente;
(b) determinar se a transferência é uni-, bi- ou tridimensional;
(c) dizer se há geração de calor no meio;
(d) dizer se a condutividade térmica k é constante ou variável.
Também anotar as quantidades que aparecem na equação (para usar nas explicações):
  • r: coordenada radial (distância ao eixo);
  • T: temperatura, que aqui aparece derivada em relação a r;
  • k: condutividade térmica (pode ser função de r ou T);
  • \dot{e}_{\mathrm{ger}}: termo de geração volumétrica de calor (unidade típica \mathrm{W}\!/\!\mathrm{m}^3).

Passo 2

Entendendo o que separa regime permanente (steady) de regime transiente (unsteady).
A equação de conservação de energia geral para condução de calor, no caso mais simples e em coordenadas cilíndricas com simetria azimutal e sem variação axial, tem a forma temporal completa
\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\,k\,\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\dot{e}_{\mathrm{ger}},
onde \rho é a densidade e c_p o calor específico (essas grandezas multiplicam a derivada temporal \partial T/\partial t). Esse termo à esquerda representa a variação temporal da energia interna do meio. Se a equação que descreve o problema NÃO contém esse termo temporal, significa que a temperatura não depende do tempo naquele modelo: o problema foi escrito em regime permanente (steady state). Na equação dada no enunciado o termo temporal não aparece. Portanto o modelo corresponde a regime permanente.

Passo 3

Entendendo a dimensionalidade (uni/bi/tridimensional).
Em coordenadas cilíndricas a forma completa do operador laplaciano (para dependência em r,\theta,z) em termos de derivadas é, para a parte radial e angular:
\nabla^2 T=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 T}{\partial\theta^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}.
A equação fornecida contém apenas o termo radial \dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr}\!\big(r\,k\,\dfrac{dT}{dr}\big) e NÃO contém derivadas em \theta nem em z. Isso indica que a temperatura é assumida função apenas de r (isto é, T=T(r)), ou seja, há simetria em \theta e homogeneidade em z. Quando a dependência espacial é apenas numa única coordenada dizemos que o problema é unidimensional. Aqui a dimensão é radial. Portanto trata-se de condução unidimensional (radial).
Comentário físico intuitivo: mesmo sendo um corpo com geometria cilíndrica (ou coaxial), se nada varia em \theta nem em z a variação é só com r — é 1D radial.

Passo 4

Interpretação do termo \dot{e}_{\mathrm{ger}} — existe geração de calor?
O símbolo \dot{e}_{\mathrm{ger}} é habitualmente usado para designar geração volumétrica de calor (por exemplo, aquecimento por efeito Joule, reações químicas, dissipação interna), com unidade \mathrm{W}\!/\!\mathrm{m}^3. A presença explícita desse termo na equação indica que o modelo inclui um termo de geração. Se \dot{e}_{\mathrm{ger}}=0 a equação reduziria para a forma homogênea sem geração; mas como o termo aparece escrito, o enunciado está considerando a possibilidade (ou presença) de geração. Logo, em geral há geração de calor no meio (a menos que seja especificado que \dot{e}_{\mathrm{ger}}=0).

Passo 5

Interpretação de k estar dentro da derivada — condutividade constante ou variável?
Se a condutividade térmica k fosse uma constante (mesmo valor em todo o meio), então matematicamente poder-se-ia simplificar puxando k para fora da derivada:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\,k\,\frac{dT}{dr}\right) = k\left(\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)\right),
com k constante. Entretanto, ao escrever a equação com k dentro do operador derivativo o enunciado está usando a forma mais geral, que permite k depender de r (ou de T que por sua vez depende de r). Assim a forma geral admite condutividade variável. Conclusão: a equação apresentada é a forma geral que permite k variável; se o problema específico tiver k constante, então k pode ser considerado constante e a expressão se simplifica, mas nada na forma fornecida força k a ser constante. Portanto, em geral k é tratada como variável na forma dada.

Passo 6

Rápido resumo didático (sem repetir a seção de respostas compacta abaixo):
  • A ausência do termo temporal implica regime permanente.
  • A presença apenas da derivada em r implica dependência unidimensional radial.
  • O termo \dot{e}_{\mathrm{ger}} indica que o modelo inclui geração volumétrica de calor.
  • O fato de k aparecer dentro da derivada mostra a forma geral que permite condutividade variável (embora possa ser constante em casos particulares).

Resposta

(a) Permanente
(b) Unidimensional (radial)
(c) Sim (há geração volumétrica, via \dot{e}_{\mathrm{ger}})
(d) Variável em geral (a forma permite k=k(r) ou k=k(T))

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