2-26 Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
(a) A transferência de calor é permanente ou transiente?
(b) A transferência de calor é uni, bi ou tridimensional?
(c) Há geração de calor no meio?
(d) A condutividade térmica do meio é constante ou variável?
(b) A transferência de calor é uni, bi ou tridimensional?
(c) Há geração de calor no meio?
(d) A condutividade térmica do meio é constante ou variável?
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede quatro coisas separadas:
(a) determinar se a transferência de calor é permanente ou transiente;
(b) determinar se a transferência é uni-, bi- ou tridimensional;
(c) dizer se há geração de calor no meio;
(d) dizer se a condutividade térmica é constante ou variável.
(a) determinar se a transferência de calor é permanente ou transiente;
(b) determinar se a transferência é uni-, bi- ou tridimensional;
(c) dizer se há geração de calor no meio;
(d) dizer se a condutividade térmica
Também anotar as quantidades que aparecem na equação (para usar nas explicações):
-
: coordenada radial (distância ao eixo); -
: temperatura, que aqui aparece derivada em relação a ; -
: condutividade térmica (pode ser função de ou ); -
: termo de geração volumétrica de calor (unidade típica ).
Passo 2
Entendendo o que separa regime permanente (steady) de regime transiente (unsteady).
A equação de conservação de energia geral para condução de calor, no caso mais simples e em coordenadas cilíndricas com simetria azimutal e sem variação axial, tem a forma temporal completa
onde
é a densidade e
o calor específico (essas grandezas multiplicam a derivada temporal
). Esse termo à esquerda representa a variação temporal da energia interna do meio. Se a equação que descreve o problema NÃO contém esse termo temporal, significa que a temperatura não depende do tempo naquele modelo: o problema foi escrito em regime permanente (steady state). Na equação dada no enunciado o termo temporal não aparece. Portanto o modelo corresponde a regime permanente.
Passo 3
Entendendo a dimensionalidade (uni/bi/tridimensional).
Em coordenadas cilíndricas a forma completa do operador laplaciano (para dependência em
) em termos de derivadas é, para a parte radial e angular:
A equação fornecida contém apenas o termo radial
e NÃO contém derivadas em
nem em
. Isso indica que a temperatura é assumida função apenas de
(isto é,
), ou seja, há simetria em
e homogeneidade em
. Quando a dependência espacial é apenas numa única coordenada dizemos que o problema é unidimensional. Aqui a dimensão é radial. Portanto trata-se de condução unidimensional (radial).
Comentário físico intuitivo: mesmo sendo um corpo com geometria cilíndrica (ou coaxial), se nada varia em
nem em
a variação é só com
— é 1D radial.
Passo 4
Interpretação do termo
— existe geração de calor?
O símbolo
é habitualmente usado para designar geração volumétrica de calor (por exemplo, aquecimento por efeito Joule, reações químicas, dissipação interna), com unidade
. A presença explícita desse termo na equação indica que o modelo inclui um termo de geração. Se
a equação reduziria para a forma homogênea sem geração; mas como o termo aparece escrito, o enunciado está considerando a possibilidade (ou presença) de geração. Logo, em geral há geração de calor no meio (a menos que seja especificado que
).
Passo 5
Interpretação de
estar dentro da derivada — condutividade constante ou variável?
Se a condutividade térmica
fosse uma constante (mesmo valor em todo o meio), então matematicamente poder-se-ia simplificar puxando
para fora da derivada:
com
constante. Entretanto, ao escrever a equação com
dentro do operador derivativo o enunciado está usando a forma mais geral, que permite
depender de
(ou de
que por sua vez depende de
). Assim a forma geral admite condutividade variável. Conclusão: a equação apresentada é a forma geral que permite
variável; se o problema específico tiver
constante, então
pode ser considerado constante e a expressão se simplifica, mas nada na forma fornecida força
a ser constante. Portanto, em geral
é tratada como variável na forma dada.
Passo 6
Rápido resumo didático (sem repetir a seção de respostas compacta abaixo):
- A ausência do termo temporal implica regime permanente.
- A presença apenas da derivada em
implica dependência unidimensional radial. - O termo
indica que o modelo inclui geração volumétrica de calor. - O fato de
aparecer dentro da derivada mostra a forma geral que permite condutividade variável (embora possa ser constante em casos particulares).
Resposta
(a) Permanente
(b) Unidimensional (radial)
(c) Sim (há geração volumétrica, via )
(d) Variável em geral (a forma permite ou
)
(b) Unidimensional (radial)
(c) Sim (há geração volumétrica, via
(d) Variável em geral (a forma permite