Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(k \frac{\partial T}{\partial z}\right)+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0
(d) A condutividade térmica do meio é constante ou variável?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(k\,r\frac{\partial T}{\partial r}\right) +\frac{\partial}{\partial z}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right) +\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0.
A pergunta (d) é: a condutividade térmica k do meio é constante ou variável?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa escrever k dentro das derivadas. A forma escrita corresponde à forma divergente do fluxo de calor em coordenadas cilíndricas, isto é, à operação
\nabla\cdot\bigl(k\nabla T\bigr)+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0,
escrita explicitamente em termos de r e z. Colocar k dentro de \nabla\cdot(\cdot) é a forma geral que permite que k dependa da posição.

Passo 3

Agora veja o que acontece se k for constante (independente de r e z). Nesse caso k pode ser retirado de dentro das derivadas. Aplicando isso à equação dada:
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(k\,r\frac{\partial T}{\partial r}\right) = k\,\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right),
e
\frac{\partial}{\partial z}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right) = k\,\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}.
Assim a equação fica
k\!\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right] +\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0.
Portanto, quando k é constante a forma simplifica e não aparecem termos com derivadas de k.

Passo 4

Se k for variável (depender de r e/ou z), não é possível tirá‑lo de dentro das derivadas e surgem termos extras ao aplicar a regra do produto. Expandindo os termos:
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(k\,r\frac{\partial T}{\partial r}\right) = \frac{1}{r}\Bigl((\partial_r k)\,r\frac{\partial T}{\partial r}+k\,\frac{\partial}{\partial r}\!(r\partial_r T)\Bigr) = (\partial_r k)\,\partial_r T + k\,\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\Bigl(r\frac{\partial T}{\partial r}\Bigr),
e
\frac{\partial}{\partial z}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right) = (\partial_z k)\,\partial_z T + k\,\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}.
Somando, a equação geral torna‑se
k\!\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right] +(\partial_r k)\,\partial_r T+(\partial_z k)\,\partial_z T+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0,
ou seja, aparecem termos proporcionais aos gradientes de k. Esses termos só existem se k variar no espaço.

Passo 5

Interpretação prática: o fato de o enunciado ter escrito k dentro das derivadas indica que foi usada a forma geral \nabla\cdot(k\nabla T), isto é, o autor permitiu que k seja função da posição. Se k fosse constante, seria mais comum (e equivalente) escrevê‑la já fora das derivadas como k\nabla^2 T (ou fatorando k como feito no Passo 3). Portanto a escrita sugere que k é variável (dependente de r e/ou z).

Resposta

A condutividade térmica k é variável (depende da posição, por exemplo de r e/ou z).

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