Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
(d) A condutividade térmica do meio é constante ou variável?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial parcial
A pergunta (d) é: a condutividade térmica
do meio é constante ou variável?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa escrever
dentro das derivadas. A forma escrita corresponde à forma divergente do fluxo de calor em coordenadas cilíndricas, isto é, à operação
escrita explicitamente em termos de
e
. Colocar
dentro de
é a forma geral que permite que
dependa da posição.
Passo 3
Agora veja o que acontece se
for constante (independente de
e
). Nesse caso
pode ser retirado de dentro das derivadas. Aplicando isso à equação dada:
e
Assim a equação fica
Portanto, quando
é constante a forma simplifica e não aparecem termos com derivadas de
.
Passo 4
Se
for variável (depender de
e/ou
), não é possível tirá‑lo de dentro das derivadas e surgem termos extras ao aplicar a regra do produto. Expandindo os termos:
e
Somando, a equação geral torna‑se
ou seja, aparecem termos proporcionais aos gradientes de
. Esses termos só existem se
variar no espaço.
Passo 5
Interpretação prática: o fato de o enunciado ter escrito
dentro das derivadas indica que foi usada a forma geral
, isto é, o autor permitiu que
seja função da posição. Se
fosse constante, seria mais comum (e equivalente) escrevê‑la já fora das derivadas como
(ou fatorando
como feito no Passo 3). Portanto a escrita sugere que
é variável (dependente de
e/ou
).
Resposta
A condutividade térmica
é variável (depende da posição, por exemplo de
e/ou
).