O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos. Ele teve mais de 39 filhos, incluindo muitos gêmeos. De fato, o historiador Ahmed Aab afirma num dos seus escritos que todos os filhos do emir eram gêmeos duplos, exceto 39; todos eram gêmeos triplos, exceto 39; todos eram gêmeos quádruplos, exceto 39 . O numero de filhos do emir é:
A) 111
B) 48
C) 51
D) 78
E) 75

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o número total de filhos do emir, dado que: ele teve mais de \,39\, filhos; "todos os filhos eram gêmeos duplos, exceto \,39\,"; "todos eram gêmeos triplos, exceto \,39\,"; "todos eram gêmeos quádruplos, exceto \,39\,". As opções são \,111,48,51,78,75\,. Vou usar essas informações para achar n, o número de filhos.

Passo 2

Vamos definir uma variável para organizar a ideia: seja \,n\, o número total de filhos do emir (é um número inteiro e \,n>39). Agora vamos interpretar a frase "todos eram gêmeos duplos, exceto \,39\,". Isso significa que o número de filhos que efetivamente pertencem a nascimentos de gêmeos (pares) é \,n-39. Como cada nascimento de gêmeos gera exatamente 2 filhos, o total de filhos que vieram de nascimentos de gêmeos tem que ser divisível por 2. Portanto:
  • \,n-39\, deve ser múltiplo de 2.
Explico: se tivéssemos, por exemplo, 10 filhos que vieram de nascimentos de gêmeos, 10 é múltiplo de 2 porque cabem exatamente 5 pares de irmãos. Se não fosse múltiplo de 2, não seria possível que todos esses filhos viessem de nascimentos compostos exatamente por pares.

Passo 3

Pelo mesmo raciocínio para os outros dois enunciados:
  • "todos eram gêmeos triplos, exceto \,39\," implica que \,n-39\, é múltiplo de 3 (pois nascimentos de triplos vêm em grupos de 3 filhos);
  • "todos eram gêmeos quádruplos, exceto \,39\," implica que \,n-39\, é múltiplo de 4.
Portanto \,n-39\, é múltiplo de 2, de 3 e de 4 ao mesmo tempo.

Passo 4

Quando um número é múltiplo simultaneamente de 2, 3 e 4, ele é múltiplo do mínimo múltiplo comum (MMC, ou LCM em inglês) desses números. Vamos calcular o MMC de \,2,3,4\,.
Fatorando:
2 = 2,\qquad 3 = 3,\qquad 4 = 2^2.
Para o MMC pegamos a maior potência de cada primo que aparece: \,2^2\, (de 4) e \,3\,. Logo
\mathrm{MMC}(2,3,4) = 2^2\cdot 3 = 4\cdot 3 = 12.
Isso nos diz que \,n-39\, deve ser múltiplo de \,12.

Passo 5

Escrevendo isso:
n-39 = 12k,
para algum inteiro positivo \,k\ge 1 (positivo porque \,n>39). Assim
n = 39 + 12k.
Existem infinitas soluções dessa forma (para k=1,2,3,\dots), mas o menor número maior que \,39\, que satisfaz é o caso k=1, que dá
n = 39 + 12 = 51.
Normalmente, em problemas desse tipo, a intenção é achar o menor valor possível que satisfaça todas as condições (além disso as opções da prova costumam incluir esse menor valor). Podemos ainda verificar as opções dadas para confirmar qual delas corresponde a essa condição.

Passo 6

Verificação rápida das opções (calculo \,n-39\, e vejo se é múltiplo de \,12):
  • Para \,n=111: \,n-39 = 72, e 72 é múltiplo de 12 (sim).
  • Para \,n=48: \,n-39 = 9, e 9 não é múltiplo de 12 (não).
  • Para \,n=51: \,n-39 = 12, e 12 é múltiplo de 12 (sim).
  • Para \,n=78: \,n-39 = 39, e 39 não é múltiplo de 12 (não).
  • Para \,n=75: \,n-39 = 36, e 36 é múltiplo de 12 (sim).
Observação: as opções \,51,75,111\, todas satisfazem as divisibilidades, porque são da forma 39+12k. Como a questão pede “O número de filhos do emir é” e tipicamente espera-se o menor valor compatível (e considerando que o enunciado já disse “mais de \,39\, filhos” sem indicar que eram dezenas ou centenas a mais), o valor natural a escolher é o menor possível: \,51.

Passo 7

Confirmação final: com \,n=51,
n-39 = 12,
que é divisível por 2, por 3 e por 4. Portanto as três afirmações do historiador ficam satisfeitas simultaneamente.

Resposta

51

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