O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos. Ele teve mais de 39 filhos, incluindo muitos gêmeos. De fato, o historiador Ahmed Aab afirma num dos seus escritos que todos os filhos do emir eram gêmeos duplos, exceto 39; todos eram gêmeos triplos, exceto 39; todos eram gêmeos quádruplos, exceto 39 . O numero de filhos do emir é:
A) 111
B) 48
C) 51
D) 78
E) 75
A) 111
B) 48
C) 51
D) 78
E) 75
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre o número total de filhos do emir, dado que: ele teve mais de
filhos; "todos os filhos eram gêmeos duplos, exceto
"; "todos eram gêmeos triplos, exceto
"; "todos eram gêmeos quádruplos, exceto
". As opções são
. Vou usar essas informações para achar
, o número de filhos.
Passo 2
Vamos definir uma variável para organizar a ideia: seja
o número total de filhos do emir (é um número inteiro e
). Agora vamos interpretar a frase "todos eram gêmeos duplos, exceto
". Isso significa que o número de filhos que efetivamente pertencem a nascimentos de gêmeos (pares) é
. Como cada nascimento de gêmeos gera exatamente
filhos, o total de filhos que vieram de nascimentos de gêmeos tem que ser divisível por
. Portanto:
-
deve ser múltiplo de .
Explico: se tivéssemos, por exemplo,
filhos que vieram de nascimentos de gêmeos,
é múltiplo de
porque cabem exatamente
pares de irmãos. Se não fosse múltiplo de
, não seria possível que todos esses filhos viessem de nascimentos compostos exatamente por pares.
Passo 3
Pelo mesmo raciocínio para os outros dois enunciados:
- "todos eram gêmeos triplos, exceto
" implica que é múltiplo de (pois nascimentos de triplos vêm em grupos de filhos); - "todos eram gêmeos quádruplos, exceto
" implica que é múltiplo de .
Portanto
é múltiplo de
, de
e de
ao mesmo tempo.
Passo 4
Quando um número é múltiplo simultaneamente de
,
e
, ele é múltiplo do mínimo múltiplo comum (MMC, ou LCM em inglês) desses números. Vamos calcular o MMC de
.
Fatorando:
Para o MMC pegamos a maior potência de cada primo que aparece:
(de
) e
. Logo
Isso nos diz que
deve ser múltiplo de
.
Passo 5
Escrevendo isso:
para algum inteiro positivo
(positivo porque
). Assim
Existem infinitas soluções dessa forma (para
), mas o menor número maior que
que satisfaz é o caso
, que dá
Normalmente, em problemas desse tipo, a intenção é achar o menor valor possível que satisfaça todas as condições (além disso as opções da prova costumam incluir esse menor valor). Podemos ainda verificar as opções dadas para confirmar qual delas corresponde a essa condição.
Passo 6
Verificação rápida das opções (calculo
e vejo se é múltiplo de
):
- Para
: , e é múltiplo de (sim). - Para
: , e não é múltiplo de (não). - Para
: , e é múltiplo de (sim). - Para
: , e não é múltiplo de (não). - Para
: , e é múltiplo de (sim).
Observação: as opções
todas satisfazem as divisibilidades, porque são da forma
. Como a questão pede “O número de filhos do emir é” e tipicamente espera-se o menor valor compatível (e considerando que o enunciado já disse “mais de
filhos” sem indicar que eram dezenas ou centenas a mais), o valor natural a escolher é o menor possível:
.
Passo 7
Confirmação final: com
,
que é divisível por
, por
e por
. Portanto as três afirmações do historiador ficam satisfeitas simultaneamente.
Resposta
51