Emissão de radiação por celulares: A seguir, estão listadas as medidas amostrais de emissões de radiação (em W/kg) correspondentes aos seguintes telefones celulares: Samsung SGH-tss9, Blackberry Storm, Blackberry Curve, Motorola Moto, T-Mobile Sidekick, Sanyo Katana, Palm Pre, Sony Ericsson, Nokia 6085, Apple iPhone 3G S, Kyocero Neo E1100. Os dados são do Environmental Working Group e foram extraídos de uma população que segue a distribuição normal. A mídia apresenta sempre reportagens sobre os perigos da radiação do telefone celular como causa de câncer. Com esses dados amostrais e com 90 \% de confiança, estime a média populacional para emissões de radiação (em W/kg) para as marcas de celulares citadas. O que o resultado sugere sobre o padrão da Federal Communications Commission que diz que a radiação de telefones celulares deve ser, em média, de 1,6 \mathrm{~W} / \mathrm{kg} ou menos? Justifique a resposta apresentando as estatísticas que apoiaram na conclusão. (1,0 ponto)
\begin{aligned} & n=11 \\\ & \bar{x}=1,94 \\\ & s=0,42 \end{aligned}
\begin{array}{rl} E & =t_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \\\ E & =1,812 \cdot \frac{0,42}{\sqrt{11}} \\\ E & =0,23 \end{array}
\begin{gathered} 1,94-0,23<\mu<1,94+0,23 \\\\ 1,71<\mu<2,17 \end{gathered}
De acordo com o valor, a média de radiação emitida por telefones celulares é maior que 1,6 \mathrm{~W} / \mathrm{kg}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Estimar, com 90\% de confiança, a média populacional \mu das emissões de radiação (em W/kg) para os celulares citados.
  • Verificar o que esse resultado sugere sobre o padrão da Federal Communications Commission (FCC) que diz que a radiação média deve ser 1,6\\ \mathrm{W/kg} ou menos, justificando a conclusão com as estatísticas.
Informações fornecidas (dados amostrais):
\begin{aligned} n &= 11 \\[4pt] \bar{x} &= 1{,}94 \\[4pt] s &= 0{,}42 \end{aligned}
Além disso o enunciado informa que os dados foram extraídos de uma população que segue distribuição normal.]

Passo 2

Escolha do método e fórmula do intervalo de confiança:
  • Como a amostra é pequena ( n=11) e o desvio padrão populacional é desconhecido, usamos a distribuição t (Student).
  • A fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média, usando t, é:
\bar{x}\pm t_{\frac{\alpha}{2},\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} é a média amostral;
  • t_{\frac{\alpha}{2},\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade, tal que a cauda superior tem área \frac{\alpha}{2};
  • s é o desvio padrão amostral;
  • n é o tamanho da amostra;
  • \frac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (standard error).
Para 90\% de confiança, \alpha = 0{,}10 e \frac{\alpha}{2}=0{,}05. Os graus de liberdade são n-1=10.

Passo 3

Obter o valor crítico t_{\frac{\alpha}{2},\,n-1} e calcular o erro padrão e a margem de erro:
  • Pelo quadro ou tabela t (ou software), para \frac{\alpha}{2}=0{,}05 e df=10 temos
t_{0{,}05,\,10}=1{,}812.
  • Calcular o erro padrão:
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}42}{\sqrt{11}}.
Calculemos \sqrt{11}:
\sqrt{11}\approx 3{,}3166.
Logo
\text{SE}\approx\frac{0{,}42}{3{,}3166}\approx 0{,}1266.
  • Calcular a margem de erro E:
E=t_{0{,}05,10}\cdot\text{SE}=1{,}812\cdot 0{,}1266\approx 0{,}2295\approx 0{,}23.

Passo 4

Construir o intervalo de confiança:
\bar{x}\pm E \Rightarrow 1{,}94\pm 0{,}23.
Portanto o intervalo é
1{,}94-0{,}23 < \mu < 1{,}94+0{,}23
ou seja
1{,}71 < \mu < 2{,}17.

Passo 5

Interpretação do intervalo e relação com o padrão da FCC:
  • O intervalo de 90\% para \mu é (1{,}71,\;2{,}17).
  • O valor padrão da FCC, 1{,}6\\ \mathrm{W/kg}, fica abaixo do limite inferior do intervalo ( 1{,}6 < 1{,}71). Isso indica que, com 90\% de confiança, a média populacional das emissões é maior que 1{,}6\\ \mathrm{W/kg} — ou seja, 1{,}6 não é um valor plausível para a média segundo estes dados.

Passo 6

Teste t unilateral (confirmação numérica):
  • Considere o teste
H_0:\mu=1{,}6\qquad\text{versus}\qquad H_a:\mu>1{,}6.
  • Estatística de teste:
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{1{,}94-1{,}6}{0{,}42/\sqrt{11}}.
Usando \text{SE}\approx 0{,}1266,
t\approx\frac{0{,}34}{0{,}1266}\approx 2{,}686.
  • Para df=10, o valor crítico unilateral ao nível \alpha=0{,}05 é t_{0{,}05,10}=1{,}812. Como t\approx 2{,}69>1{,}812, rejeitamos H_0 ao nível 5\% (e, claro, ao nível 10\%). O p-valor unilateral aproximado é p\approx 0{,}012, o que é pequeno.
  • Conclusão do teste: há evidência estatística significativa de que \mu>1{,}6.

Passo 7

Observações finais e suposição necessária:
  • A conclusão depende da suposição informada de que a população é aproximadamente normal (essa suposição foi dada no enunciado).
  • Resumindo: o intervalo de confiança e o teste indicam que a média populacional das emissões, para esses modelos, tende a ser maior que o limite de 1{,}6\\ \mathrm{W/kg} estabelecido pela FCC.

Resposta

90\%\\ \text{IC para }\mu:\;1{,}71<\mu<2{,}17\nConclusão: o resultado sugere que \mu>1{,}6\\ \mathrm{W/kg} (o valor 1{,}6 está fora do intervalo; teste t: t\approx 2{,}69, p\approx 0{,}012, rejeita H_0:\mu=1{,}6).

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