Um pesquisador está estudando a resistência de um determinado material sob determinadas condições. A distribuição de probabilidade Normal foi a que melhor se ajustou aos dados abaixo.
Utilizando os valores
, 6.2 unidades, obtidos de uma amostra de tamanho 9, determine:
a) Os EMV dos parâmetros da Normal e respectivos intervalos de confiança
para a resistência média e variância.
b) Faça uma análise Bayesiana usando uma priori não-informativa
c) Faça uma análise Bayesiana usando uma priori informativa
a) Os EMV dos parâmetros da Normal e respectivos intervalos de confiança
b) Faça uma análise Bayesiana usando uma priori não-informativa
c) Faça uma análise Bayesiana usando uma priori informativa
Passo 1
O enunciado pede que, a partir da amostra de tamanho
com observações
,\n
a) eu calcule os estimadores por máxima verossimilhança (EMV) dos parâmetros da Normal e os intervalos de confiança de para a média e para a variância;\n
b) eu faça uma análise Bayesiana usando uma priori não-informativa;\n
c) eu faça uma análise Bayesiana usando uma priori informativa.\n
Informações relevantes fornecidas: os dados listados acima e a suposição de que a distribuição adequada é a Normal (desconhecendo a média e a variância
).\n
A resolução começa nos próximos passos: primeiro calculo estatísticas-síntese da amostra que serão usadas em todas as partes.
a) eu calcule os estimadores por máxima verossimilhança (EMV) dos parâmetros da Normal e os intervalos de confiança de
b) eu faça uma análise Bayesiana usando uma priori não-informativa;\n
c) eu faça uma análise Bayesiana usando uma priori informativa.\n
Informações relevantes fornecidas: os dados listados acima e a suposição de que a distribuição adequada é a Normal (desconhecendo a média
A resolução começa nos próximos passos: primeiro calculo estatísticas-síntese da amostra que serão usadas em todas as partes.
Passo 2
Calcular as estatísticas da amostra: soma, média e soma dos quadrados das observações.\n
Soma das observações:
Soma das observações:
Média amostral
:
Soma dos quadrados:
Usarei estes valores nas fórmulas seguintes. (Tudo acima foi obtido diretamente dos dados fornecidos.)
Passo 3
Encontrar os EMV dos parâmetros da Normal. Explicação e fórmulas: para uma amostra
de
com ambos os parâmetros desconhecidos, os estimadores de máxima verossimilhança são\n
e
.\n
Cálculo prático usando identidade para evitar cálculo de cada desvio:\n
Cálculo prático usando identidade
Portanto:
Observação didática: o estimador usual “amostral” não-viesado da variância é
Aqui
, então
e o desvio-padrão amostral não-viesado é
Passo 4
Construir o intervalo de confiança de
para a média (frequentista). A teoria: quando
é desconhecida usamos a estatística
que segue a distribuição
com
graus de liberdade. Assim um IC de nível
para
é
Aqui
, então
. O valor crítico para
é
.\n
Calcule o erro-padrão:
Calcule o erro-padrão:
Margem de erro:
Portanto o IC
para
é
ou numericamente aproximadamente
A interpretação prática: temos
de confiança de que a verdadeira resistência média
está neste intervalo.
Passo 5
Construir o intervalo de confiança de
para a variância (frequentista). A teoria: se
é a variância amostral não-viesada, então
Um IC
para
é
Com
, usamos
e
.\n
Calcule .\n
Então
Calcule
Então
Portanto o IC
para
é aproximadamente
Se desejarmos o IC para
(desvio-padrão), tomamos raiz quadrada dos extremos.
Passo 6
Análise Bayesiana com priori não-informativa. Explicação: uma escolha comum não-informativa para o problema Normal com
e
desconhecidos é a priori conjunta
que é a priori de Jeffreys / “improper” que dá resultados posteriors padrão.\n
Resultados teóricos úteis (conjugados / consequências):
Resultados teóricos úteis (conjugados / consequências):
- A distribuição a posteriori marginal de
é uma distribuição com graus de liberdade, centrada em e escala . Logo o intervalo de credibilidade de para coincide numericamente com o intervalo frequentista que já calculei no Passo 4:
- A distribuição a posteriori de
(com essa priori) é proporcional a uma lei inversa do qui-quadrado com parâmetros . O intervalo de credibilidade de para coincide numericamente com o intervalo qui-quadrado frequentista do Passo 5:
Além disso, podemos dar resumos pontuais a posteriori:
- Valor esperado a posteriori de
é . - Um resumo para
(sob essa priori) é a média a posteriori (quando definida):
válida aqui porque
.\n
Interpretação prática: com priori não-informativa, as conclusões Bayesianas para intervalo de credibilidade coincidem com os intervalos de confiança clássicos; a posterior concentra-se em torno da média amostral.
Interpretação prática: com priori não-informativa, as conclusões Bayesianas para intervalo de credibilidade coincidem com os intervalos de confiança clássicos; a posterior concentra-se em torno da média amostral.
Passo 7
Análise Bayesiana com uma priori informativa (escolha e cálculo). Como o enunciado não deu uma priori, escolho uma priori conjugada (prática e fácil de computar) do tipo Normal–Inversa-Gama, que é padrão para Normal com média e variância desconhecidas. Esta priori é
Justificativa da minha escolha numérica (exemplo razoável): suponhamos que, antes dos dados, o pesquisador acreditava que a resistência média estava perto de
(um palpite moderado), com força equivalente a
observações (ou seja, a priori conta como 4 observações adicionais). Para a variância suponho uma crença moderada com parâmetros
e
(isso dá uma média a priori da variância igual a
quando
). Esses números são ilustrativos e explico o efeito: maior
faria a priori ter mais influência;
controlam crença sobre
.\n
Fórmulas de atualização conjugada (resultados padrão):
Fórmulas de atualização conjugada (resultados padrão):
Calculemos com
:\n
- já temos
, , e .\n
Então
para
calculemos as parcelas:
Logo
Portanto a posteriori:
Resumo numérico e interpretações:
- Posterior pontual para a média:
(a priori puxou a média amostral levemente para ).\n - Uma forma prática de obter um intervalo de credibilidade para
é usar a forma marginal (conhecida): a marginal de é uma (Student) com centro , escala e graus de liberdade . Calculando numericamente:\n
escala,\n
graus de liberdade,\n
,\n
margem.\n
Assim o IC Bayesianopara (com essa priori informativa) é aproximadamente - Para
a posterior é . Podemos transformar para a parametrização “scaled-inv- ” com e escala . Então um intervalo de credibilidade é dado por
Com
,
e
, obtemos numericamente
A média a posteriori de
(quando definida) é
Passo 8
Comentários finais e comparação (motivação para a prova):\n
- Frequentista (parte a): EMVs:
e . Os intervalos clássicos para média (t) e variância (qui-quadrado) foram calculados explicitamente. Anote bem as fórmulas: o IC para com desconhecida usa com graus; o IC para usa estatística qui-quadrado com graus.\n - Bayesiano não-informativo (parte b): com a priori
os intervalos de credibilidade para e coincidem numericamente com os intervalos clássicos calculados (mesma interpretação em termos de probabilidade a posteriori).\n - Bayesiano informativo (parte c): ao escolher uma priori conjugada explícita (aqui eu usei
), obtemos uma posterior que “combina” a informação a priori com a informação dos dados; a média posterior de ficou um pouco mais próxima de do que a média amostral pura, e o intervalo de credibilidade para ficou um pouco mais estreito (pois a priori adicionou informação). Isso ilustra como uma priori bem justificada pode estabilizar estimativas quando é pequeno.\n
Segue agora apenas as respostas finais numéricas consolidadas.
Resposta
a)
;
. IC
para
:
. IC
para
:
.
b) Priori não-informativa : posterior marginal de
é
com centro
e escala
, logo 95% de credibilidade para
é
. Posterior de
dá credibilidade
. Média a posteriori de
; média a posteriori de
.
c) Com priori informativa escolhida : posterior tem
. 95% cred. para
(marginal)
. Média a posteriori de
e 95% cred. para
.
b) Priori não-informativa
c) Com priori informativa escolhida