Um pesquisador está estudando a resistência de um determinado material sob determinadas condições. A distribuição de probabilidade Normal foi a que melhor se ajustou aos dados abaixo.
Utilizando os valores 4.9,7.0,8.1,4.5,5.6,6.8,7.2,5.7, 6.2 unidades, obtidos de uma amostra de tamanho 9, determine:
a) Os EMV dos parâmetros da Normal e respectivos intervalos de confiança 95 \% para a resistência média e variância.
b) Faça uma análise Bayesiana usando uma priori não-informativa
c) Faça uma análise Bayesiana usando uma priori informativa

Passo 1

O enunciado pede que, a partir da amostra de tamanho n=9 com observações
\;4{,}9,\;7{,}0,\;8{,}1,\;4{,}5,\;5{,}6,\;6{,}8,\;7{,}2,\;5{,}7,\;6{,}2,\n
a) eu calcule os estimadores por máxima verossimilhança (EMV) dos parâmetros da Normal e os intervalos de confiança de 95\% para a média e para a variância;\n
b) eu faça uma análise Bayesiana usando uma priori não-informativa;\n
c) eu faça uma análise Bayesiana usando uma priori informativa.\n
Informações relevantes fornecidas: os dados listados acima e a suposição de que a distribuição adequada é a Normal (desconhecendo a média \mu e a variância \sigma^2).\n
A resolução começa nos próximos passos: primeiro calculo estatísticas-síntese da amostra que serão usadas em todas as partes.

Passo 2

Calcular as estatísticas da amostra: soma, média e soma dos quadrados das observações.\n
Soma das observações:
\sum_{i=1}^{9} x_i = 4{,}9+7{,}0+8{,}1+4{,}5+5{,}6+6{,}8+7{,}2+5{,}7+6{,}2 = 56.
Média amostral \bar{x}:
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{56}{9} \approx 6{,}222\ldots
Soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{9} x_i^2 = 359{,}24.
Usarei estes valores nas fórmulas seguintes. (Tudo acima foi obtido diretamente dos dados fornecidos.)

Passo 3

Encontrar os EMV dos parâmetros da Normal. Explicação e fórmulas: para uma amostra x_1,\dots,x_n de N(\mu,\sigma^2) com ambos os parâmetros desconhecidos, os estimadores de máxima verossimilhança são\n
\hat{\mu}_{\text{MLE}} = \bar{x} e \hat{\sigma}^2_{\text{MLE}} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.\n
Cálculo prático usando identidade \dfrac{1}{n}\sum x_i^2 - \bar{x}^2 para evitar cálculo de cada desvio:\n
\hat{\sigma}^2_{\text{MLE}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar{x}^2 = \frac{359{,}24}{9} - \left(\frac{56}{9}\right)^2 =39{,}915555\ldots - 38{,}716049\ldots =1{,}199506\ldots
Portanto:
\hat{\mu}_{\text{MLE}} = \frac{56}{9} \approx 6{,}222\ldots, \qquad \hat{\sigma}^2_{\text{MLE}} \approx 1{,}1995.
Observação didática: o estimador usual “amostral” não-viesado da variância é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = \frac{n}{n-1}\hat{\sigma}^2_{\text{MLE}}.
Aqui n/(n-1)=9/8=1{,}125, então
s^2 \approx 1{,}125 \times 1{,}199506\ldots = 1{,}349444\ldots
e o desvio-padrão amostral não-viesado é
s\approx\sqrt{1{,}349444\ldots}\approx 1{,}161.

Passo 4

Construir o intervalo de confiança de 95\% para a média (frequentista). A teoria: quando \sigma^2 é desconhecida usamos a estatística
T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}
que segue a distribuição t com n-1 graus de liberdade. Assim um IC de nível 1-\alpha para \mu é
\bar{x} \pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui n=9, então n-1=8. O valor crítico para 95\% é t_{0{,}975,8}\approx 2{,}306.\n
Calcule o erro-padrão:
\frac{s}{\sqrt{n}} \approx \frac{1{,}161}{3} \approx 0{,}387167.
Margem de erro:
2{,}306 \times 0{,}387167 \approx 0{,}8923.
Portanto o IC 95\% para \mu é
\bar{x} \pm 0{,}8923 \quad\Rightarrow\quad 6{,}222\ldots \pm 0{,}8923
ou numericamente aproximadamente
(5{,}330;\;7{,}114).
A interpretação prática: temos 95\% de confiança de que a verdadeira resistência média \mu está neste intervalo.

Passo 5

Construir o intervalo de confiança de 95\% para a variância (frequentista). A teoria: se S^2 é a variância amostral não-viesada, então
\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1}.
Um IC 100(1-\alpha)\% para \sigma^2 é
\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}},\; \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}}\right).
Com n-1=8, usamos \chi^2_{0{,}975,8}\approx 2{,}1797 e \chi^2_{0{,}025,8}\approx 17{,}5345.\n
Calcule (n-1)S^2 = 8\times 1{,}349444\ldots = 10{,}79555\ldots.\n
Então
\text{limite inferior} = \frac{10{,}79555}{17{,}5345}\approx 0{,}6159, \qquad \text{limite superior} = \frac{10{,}79555}{2{,}1797}\approx 4{,}9569.
Portanto o IC 95\% para \sigma^2 é aproximadamente
(0{,}616;\;4{,}957).
Se desejarmos o IC para \sigma (desvio-padrão), tomamos raiz quadrada dos extremos.

Passo 6

Análise Bayesiana com priori não-informativa. Explicação: uma escolha comum não-informativa para o problema Normal com \mu e \sigma^2 desconhecidos é a priori conjunta
\pi(\mu,\sigma^2)\propto \frac{1}{\sigma^2},
que é a priori de Jeffreys / “improper” que dá resultados posteriors padrão.\n
Resultados teóricos úteis (conjugados / consequências):
  • A distribuição a posteriori marginal de \mu é uma distribuição t com n-1 graus de liberdade, centrada em \bar{x} e escala s/\sqrt{n}. Logo o intervalo de credibilidade de 95\% para \mu coincide numericamente com o intervalo t frequentista que já calculei no Passo 4:
\text{IC Bayesiano }95\%\text{ para }\mu \approx (5{,}330;\;7{,}114).
  • A distribuição a posteriori de \sigma^2 (com essa priori) é proporcional a uma lei inversa do qui-quadrado com parâmetros (n-1,s^2). O intervalo de credibilidade de 95\% para \sigma^2 coincide numericamente com o intervalo qui-quadrado frequentista do Passo 5:
\text{IC Bayesiano }95\%\text{ para }\sigma^2 \approx (0{,}616;\;4{,}957).
Além disso, podemos dar resumos pontuais a posteriori:
  • Valor esperado a posteriori de \mu é \mathbb{E}[\mu\mid \text{dados}]=\bar{x}\approx 6{,}222.
  • Um resumo para \sigma^2 (sob essa priori) é a média a posteriori (quando definida):
\mathbb{E}[\sigma^2\mid \text{dados}] = \frac{(n-1)s^2}{n-3} = \frac{10{,}79555}{6}\approx 1{,}7993,
válida aqui porque n=9>3.\n
Interpretação prática: com priori não-informativa, as conclusões Bayesianas para intervalo de credibilidade coincidem com os intervalos de confiança clássicos; a posterior concentra-se em torno da média amostral.

Passo 7

Análise Bayesiana com uma priori informativa (escolha e cálculo). Como o enunciado não deu uma priori, escolho uma priori conjugada (prática e fácil de computar) do tipo Normal–Inversa-Gama, que é padrão para Normal com média e variância desconhecidas. Esta priori é
\mu\mid\sigma^2 \sim N(\mu_0,\;\sigma^2/\kappa_0),\qquad \sigma^2\sim \text{Inv-Gamma}(\alpha_0,\beta_0).
Justificativa da minha escolha numérica (exemplo razoável): suponhamos que, antes dos dados, o pesquisador acreditava que a resistência média estava perto de 6{,}0 (um palpite moderado), com força equivalente a \kappa_0=4 observações (ou seja, a priori conta como 4 observações adicionais). Para a variância suponho uma crença moderada com parâmetros \alpha_0=2 e \beta_0=2 (isso dá uma média a priori da variância igual a \beta_0/(\alpha_0-1)=2 quando \alpha_0>1). Esses números são ilustrativos e explico o efeito: maior \kappa_0 faria a priori ter mais influência; \alpha_0,\beta_0 controlam crença sobre \sigma^2.\n
Fórmulas de atualização conjugada (resultados padrão):
\kappa_n = \kappa_0 + n,\qquad \mu_n = \frac{\kappa_0\mu_0 + n\bar{x}}{\kappa_0 + n},
\alpha_n = \alpha_0 + \frac{n}{2},
\beta_n = \beta_0 + \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 + \frac{\kappa_0 n (\bar{x}-\mu_0)^2}{2(\kappa_0 + n)}.
Calculemos com \mu_0=6{,}0,\;\kappa_0=4,\;\alpha_0=2,\;\beta_0=2:\n
  • já temos n=9, \bar{x}=56/9, e \sum (x_i-\bar{x})^2=(n-1)s^2=10{,}79555\ldots.\n
    Então
\kappa_n = 4+9=13, \qquad \mu_n = \frac{4\cdot 6{,}0 + 9\cdot 6{,}222\ldots}{13} = \frac{24 + 56}{13} = \frac{80}{13}\approx 6{,}153846\ldots
\alpha_n = 2 + \frac{9}{2} = 6{,}5,
para \beta_n calculemos as parcelas:
\frac{1}{2}\sum (x_i-\bar{x})^2 = \frac{10{,}79555}{2} = 5{,}397775,
\frac{\kappa_0 n (\bar{x}-\mu_0)^2}{2(\kappa_0 + n)} = \frac{36 \times (6{,}222\ldots - 6{,}0)^2}{2\cdot 13} = \frac{36 \times 0{,}0493827\ldots}{26} \approx 0{,}06837684.
Logo
\beta_n = 2 + 5{,}397775 + 0{,}06837684 \approx 7{,}466152.
Portanto a posteriori:
\mu\mid\sigma^2,\text{dados}\sim N\!\left(\mu_n,\;\frac{\sigma^2}{\kappa_n}\right), \qquad \sigma^2\mid\text{dados}\sim \text{Inv-Gamma}(\alpha_n,\beta_n).
Resumo numérico e interpretações:
  • Posterior pontual para a média: \mathbb{E}[\mu\mid\text{dados}]\approx \mu_n \approx 6{,}153846 (a priori puxou a média amostral levemente para 6{,}0).\n
  • Uma forma prática de obter um intervalo de credibilidade para \mu é usar a forma marginal (conhecida): a marginal de \mu é uma t (Student) com centro \mu_n, escala \sqrt{\dfrac{\beta_n}{\alpha_n \kappa_n}} e graus de liberdade 2\alpha_n. Calculando numericamente:\n
    escala =\sqrt{\dfrac{7{,}466152}{6{,}5\times 13}}=\sqrt{0{,}08839\ldots}\approx 0{,}2973,\n
    graus de liberdade =2\alpha_n=13,\n
    t_{0{,}975,13}\approx 2{,}160,\n
    margem =2{,}160\times 0{,}2973\approx 0{,}6423.\n
    Assim o IC Bayesiano 95\% para \mu (com essa priori informativa) é aproximadamente \mu_n \pm 0{,}6423 \quad\Rightarrow\quad (5{,}512;\;6{,}796).
  • Para \sigma^2 a posterior é \text{Inv-Gamma}(6{,}5,\;7{,}466152). Podemos transformar para a parametrização “scaled-inv- \chi^2” com \nu_n=2\alpha_n=13 e escala \tau^2=\beta_n/\alpha_n\approx 7{,}466152/6{,}5\approx 1{,}148638. Então um intervalo de credibilidade 95\% é dado por
\left(\frac{\nu_n\tau^2}{\chi^2_{0{,}975,\nu_n}},\;\frac{\nu_n\tau^2}{\chi^2_{0{,}025,\nu_n}}\right).
Com \nu_n=13, \chi^2_{0{,}975,13}\approx 5{,}009 e \chi^2_{0{,}025,13}\approx 26{,}217, obtemos numericamente
\sigma^2 \text{ 95\% cred.} \approx (0{,}570;\;2{,}980).
A média a posteriori de \sigma^2 (quando definida) é
\mathbb{E}[\sigma^2\mid\text{dados}] = \frac{\beta_n}{\alpha_n-1} \approx \frac{7{,}466152}{5{,}5}\approx 1{,}3575.

Passo 8

Comentários finais e comparação (motivação para a prova):\n
  • Frequentista (parte a): EMVs: \hat{\mu}=\bar{x} e \hat{\sigma}^2=(1/n)\sum (x_i-\bar{x})^2. Os intervalos clássicos para média (t) e variância (qui-quadrado) foram calculados explicitamente. Anote bem as fórmulas: o IC para \mu com \sigma^2 desconhecida usa t com n-1 graus; o IC para \sigma^2 usa estatística qui-quadrado com n-1 graus.\n
  • Bayesiano não-informativo (parte b): com a priori \pi(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^2 os intervalos de credibilidade para \mu e \sigma^2 coincidem numericamente com os intervalos clássicos calculados (mesma interpretação em termos de probabilidade a posteriori).\n
  • Bayesiano informativo (parte c): ao escolher uma priori conjugada explícita (aqui eu usei \mu_0=6{,}0,\kappa_0=4,\alpha_0=2,\beta_0=2), obtemos uma posterior que “combina” a informação a priori com a informação dos dados; a média posterior de \mu ficou um pouco mais próxima de 6{,}0 do que a média amostral pura, e o intervalo de credibilidade para \mu ficou um pouco mais estreito (pois a priori adicionou informação). Isso ilustra como uma priori bem justificada pode estabilizar estimativas quando n é pequeno.\n
    Segue agora apenas as respostas finais numéricas consolidadas.

Resposta

a) \hat{\mu}_{\text{MLE}}=\dfrac{56}{9}\approx 6{,}222; \hat{\sigma}^2_{\text{MLE}}\approx 1{,}1995. IC 95\% para \mu: (5{,}330;\;7{,}114). IC 95\% para \sigma^2: (0{,}616;\;4{,}957).
b) Priori não-informativa \pi(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^2: posterior marginal de \mu é t_{8} com centro \bar{x} e escala s/\sqrt{n}, logo 95% de credibilidade para \mu é (5{,}330;\;7{,}114). Posterior de \sigma^2 dá credibilidade 95\% (0{,}616;\;4{,}957). Média a posteriori de \mu\approx 6{,}222; média a posteriori de \sigma^2\approx 1{,}7993.
c) Com priori informativa escolhida \mu_0=6{,}0,\kappa_0=4,\alpha_0=2,\beta_0=2: posterior tem \mu_n\approx 6{,}153846,\\ \kappa_n=13,\\ \alpha_n=6{,}5,\\ \beta_n\approx 7{,}466152. 95% cred. para \mu (marginal) \approx(5{,}512;\;6{,}796). Média a posteriori de \sigma^2\approx 1{,}3575 e 95% cred. para \sigma^2\approx(0{,}570;\;2{,}980).

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