• O que é um emissor difuso? Para tal emissor, como a intensidade está relacionada ao poder emissivo total?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) “O que é um emissor difuso?” e (2) “Para tal emissor, como a intensidade está relacionada ao poder emissivo total?”\n
Informações dadas pelo enunciado: trata-se de um emissor difuso (ou seja, propriedade de emissão é do tipo difuso) e precisamos relacionar a intensidade radiativa (potência por unidade de ângulo sólido) com o poder emissivo total (potência total emitida pela superfície). Não há mais dados numéricos nem figura.

Passo 2

Vamos definir cuidadosamente as grandezas de radiometria que vamos usar. Vou explicar cada símbolo e o sentido físico, devagarinho, como se estivéssemos desenhando no caderno.\n
  • \Phi: potência radiante total emitida por uma superfície, em watts. Significa “quanto de energia por segundo sai” (também chamado de fluxo radiante).\n
  • A: área da superfície emissora, em \mathrm{m}^2.\n
  • M (às vezes chamado de E ou M_e): poder emissivo por unidade de área (radiant exitance), definido por
M=\frac{d\Phi}{dA},
ou seja, potência total emitida por unidade de área, em \mathrm{W/m}^2.\n
  • L: radiância (radiance), definida como potência por unidade de área projetada por unidade de ângulo sólido, em \mathrm{W/(m^2\;sr)}. Formalmente,
L=\frac{d^2\Phi}{dA\cos\theta\,d\Omega},
onde \theta é o ângulo entre a normal da superfície e a direção considerada, e d\Omega é um elemento de ângulo sólido.\n
  • I: intensidade radiativa (radiant intensity), potência por unidade de ângulo sólido numa dada direção, em \mathrm{W/sr}. Para uma pequena área dA,
dI=\frac{d\Phi}{d\Omega}.
Essas relações são chave: radiância relaciona potência, área projetada e ângulo sólido; intensidade é potência por ângulo sólido (integrando radiância sobre a área com o fator \cos\theta).

Passo 3

Agora, o que significa “emissor difuso” (Lambertiano)? Vou explicar com calma.\n
Um emissor é chamado difuso ou lambertiano quando a radiância L é independente da direção — isto é, L é constante para todas as direções na meia-esfera acima da superfície. Em termos práticos, isso implica a Lei do Cosseno de Lambert: a intensidade (ou irradiância em dada direção por unidade de área) varia com \cos\theta. Intuitivamente: a superfície “vê” menos área projetada quando olhamos de lado, então a emissão por direção diminui como \cos\theta.\n
Para um emissor lambertiano, podemos relacionar M e L. A potência emitida por unidade de área é a integral da radiância multiplicada pelo cosseno sobre a meia-esfera:
M=\int_{\Omega=2\pi} L\cos\theta\,d\Omega.
Como L é constante, ele sai da integral. Escrevendo d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi e integrando \varphi de 0 a 2\pi e \theta de 0 a \pi/2, temos
M=L\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Calcule a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)\,d\theta=\frac{1}{2}\left[-\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_{0}^{\pi/2}=\frac{1}{2}.
Logo
M=L\cdot 2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi L.
Portanto, para um emissor difuso uniforme,
L=\frac{M}{\pi}.
Isso é uma fórmula super importante: radiância constante igual ao poder emissivo por área dividido por \pi.

Passo 4

Agora relacionar intensidade I com L (e depois com o poder total). Considere uma superfície plana de área A com radiância L uniforme (caso lambertiano). A potência emitida em direção dentro de um elemento de ângulo sólido d\Omega é
d\Phi = L\cos\theta\,dA\,d\Omega.
Dividindo por d\Omega, a contribuição dessa área para a intensidade na direção (\theta,\varphi) é
dI = L\cos\theta\,dA.
Somando (integrando) sobre toda a área A — se L é uniforme e a superfície é plana e tem o mesmo \theta relativo à direção considerada — obtemos a intensidade total na direção \theta:
I(\theta)=\int_{A} L\cos\theta\,dA = L A \cos\theta.
Então, para um emissor lambertiano e plano, a intensidade varia exatamente como \cos\theta e é proporcional à área e à radiância.

Passo 5

Expressar I(\theta) em função do poder emissivo total P emitido pela superfície. Primeiro, defina P como a potência total emitida pela área A na meia-esfera:
P=\Phi_{\text{total}}=M A.
Usando M=\pi L (do Passo 3), temos P=\pi L A. Da expressão do Passo 4,
I(\theta)=L A \cos\theta.
Elimine L A em favor de P:
L A=\frac{P}{\pi},
portanto
I(\theta)=\frac{P}{\pi}\cos\theta.
Essa é a relação pedida: a intensidade radiativa em uma direção que forma ângulo \theta com a normal vale \dfrac{P}{\pi}\cos\theta, onde P é a potência total emitida pela área A para a meia-esfera (ou seja, o poder emissivo total dessa superfície).

Passo 6

Verificação rápida (boa prática): integramos I(\theta) sobre a meia-esfera para recuperar P:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} I(\theta)\,d\Omega = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} \frac{P}{\pi}\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi = \frac{P}{\pi}\cdot 2\pi\cdot\frac{1}{2}=P,
logo está consistente.\n
Exemplo numérico rápido só pra fixar: se \;P=\!10\\ \mathrm{W}, então \;I(0)=\dfrac{10}{\pi}\\ \mathrm{W/sr}\approx 3{,}183\\ \mathrm{W/sr} e em \theta=60^\circ (onde \cos60^\circ=0{,}5) \;I(60^\circ)=\dfrac{10}{\pi}\cdot 0{,}5\approx 1{,}591\\ \mathrm{W/sr}.\n
Força final: você já consegue usar isso na prova — memorize M=\pi L e I(\theta)=L A\cos\theta que te levam direto à fórmula em termos de P.

Resposta

Um emissor difuso é um emissor lambertiano cuja radiância L é constante em todas as direções da meia-esfera; a emissão em cada direção obedece à Lei do Cosseno de Lambert ( \propto\cos\theta).\n
I(\theta)=\frac{P}{\pi}\cos\theta,
onde I(\theta) é a intensidade na direção com ângulo \theta em relação à normal e P é o poder emissivo total emitido pela superfície na meia-esfera.

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