O espaço entre dois cilindros coaxiais é preenchido com um fluido incompressível a uma temperatura constante. Os raios das superfícies molhadas, interna e externa, são \kappa R e R, respectivamente. As velocidades angulares de rotação dos cilindros de dentro e de fora são \Omega_{i} e \Omega_{o}. Determine a distribuição de velocidades no fluido e os torques sobre os dois cilindros, necessários para manter o movimento.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine duas coisas:
  1. A distribuição de velocidades do fluido no espaço entre dois cilindros coaxiais (isto é, como a velocidade tangencial do fluido varia com o raio r no intervalo \kappa R \le r \le R).
  2. Os torques sobre os dois cilindros necessários para manter os cilindros girando com velocidades angulares dadas.
As informações dadas são:
  • O fluido é incompressível e está à temperatura constante (logo a viscosidade dinâmica \mu pode ser tomada como constante).
  • O raio da superfície molhada do cilindro interno é \kappa R.
  • O raio da superfície molhada do cilindro externo é R.
  • As velocidades angulares (rotacionais) dos cilindros são \Omega_{i} (interno) e \Omega_{o} (externo).
  • Não foram dadas forças de volume nem gradientes de pressão para forçar fluxo axial; o problema é o caso clássico de escoamento por cisalhamento entre cilindros coaxiais em rotação.

Passo 2

Primeiro vamos decidir o tipo de escoamento e escrever as hipóteses físicas (isto vai simplificar as equações).
  • Por simetria (cilindros coaxiais e condições independentes do ângulo \theta e do eixo z) o escoamento é estacionário, axisimétrico e independente de z.
  • Assumo que não há componente radial nem axial do campo de velocidades: v_{r}=0 e v_{z}=0. A única componente diferente de zero é a componente azimutal (tangencial) v_{\theta}(r), função apenas de r.
  • As condições de contorno são o não deslizamento (no-slip): o fluido na superfície interna tem velocidade tangencial igual à do cilindro interno e na superfície externa igual à do cilindro externo. Ou seja, v_{\theta}(\kappa R)=\Omega_{i}\,\kappa R,\qquad v_{\theta}(R)=\Omega_{o}\,R.
Explico por que podemos usar essas hipóteses: como as superfícies são coaxiais e as rotações são puramente azimutais, nada gera variação em \theta ou em z, e viscosidade só tende a produzir variação radial da componente tangencial. Esse é o cenário padrão chamado escoamento de Couette cilíndrico.

Passo 3

Agora vamos obter a equação diferencial que v_{\theta}(r) satisfaz. Para um escoamento estacionário, axisimétrico, com v_{r}=v_{z}=0 e v_{\theta}=v_{\theta}(r), a componente azimutal da equação de Navier–Stokes (com densidade e pressão ignoradas na direção \theta) reduz-se à condição de equilíbrio viscoso:
\mu\left(\frac{d^{2}v_{\theta}}{dr^{2}}+\frac{1}{r}\frac{dv_{\theta}}{dr}-\frac{v_{\theta}}{r^{2}}\right)=0.
Aqui \mu é a viscosidade dinâmica, e o operador entre parênteses é o laplaciano na componente azimutal em coordenadas cilíndricas para as hipóteses já listadas. Como \mu\neq 0, o que resta resolver é a equação ordinária
\frac{d^{2}v_{\theta}}{dr^{2}}+\frac{1}{r}\frac{dv_{\theta}}{dr}-\frac{v_{\theta}}{r^{2}}=0.

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial: essa é uma equação linear de segunda ordem com solução conhecida. Uma forma direta é tentar v_{\theta}=r^{n}. Substituindo dá os modos n=1 e n=-1, logo a solução geral é combinação linear:
v_{\theta}(r)=A\,r+\frac{B}{r},
onde A e B são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.
Interpretação física rápida: o termo A r representa um campo de rotação como um corpo rígido (velocidade proporcional a r), e o termo B/r representa um campo gerado por vorticidade concentrada (decai como 1/r). O escoamento real entre cilindros é uma combinação desses dois.

Passo 5

Aplicando as condições de contorno para determinar A e B.
Em r=\kappa R:
\Omega_{i}\,\kappa R = A\,(\kappa R)+\frac{B}{\kappa R}.
Em r=R:
\Omega_{o}\,R = A\,R+\frac{B}{R}.
Divido a segunda por R e a primeira por R para facilitar:
\Omega_{o}=A+\frac{B}{R^{2}},\qquad \Omega_{i}\kappa = A\kappa + \frac{B}{\kappa R^{2}}.
Resolvendo o sistema para A e B (faço as contas passo a passo):
Da primeira, \displaystyle B=R^{2}(\Omega_{o}-A).
Substituo na segunda:
\Omega_{i}\kappa = A\kappa + \frac{R^{2}(\Omega_{o}-A)}{\kappa R^{2}} = A\kappa + \frac{\Omega_{o}-A}{\kappa}.
Multiplicando por \kappa:
\Omega_{i}\kappa^{2} = A\kappa^{2} + \Omega_{o} - A.
Agrupando termos em A:
\Omega_{i}\kappa^{2}-\Omega_{o} = A(\kappa^{2}-1).
Portanto
A=\frac{\Omega_{i}\kappa^{2}-\Omega_{o}}{\kappa^{2}-1}=\frac{\Omega_{o}-\Omega_{i}\kappa^{2}}{1-\kappa^{2}}.
Usando B=R^{2}(\Omega_{o}-A) e substituindo A obtemos (faço a álgebra):
\Omega_{o}-A=\frac{\kappa^{2}(\Omega_{o}-\Omega_{i})}{\kappa^{2}-1}=\frac{\kappa^{2}(\Omega_{i}-\Omega_{o})}{1-\kappa^{2}},
logo
B=R^{2}\,\frac{\kappa^{2}(\Omega_{i}-\Omega_{o})}{1-\kappa^{2}}.

Passo 6

Agora escrevo a distribuição final de velocidade tangencial v_{\theta}(r) substituindo A e B:
v_{\theta}(r)=A\,r+\frac{B}{r}
com
A=\frac{\Omega_{o}-\Omega_{i}\kappa^{2}}{1-\kappa^{2}},\qquad B=R^{2}\,\frac{\kappa^{2}(\Omega_{i}-\Omega_{o})}{1-\kappa^{2}}.
Essa é a expressão que vale para \kappa R\le r\le R. Verifique rapidamente: para r=\kappa R e para r=R recuperamos as velocidades de contorno, como deve ser.
Vou comentar didaticamente: na prova, ao ver cilindros coaxiais rotativos, lembre-se da forma geral v_{\theta}=Ar+B/r. Em seguida imponha não-deslizamento nas duas fronteiras e resolva para A,B. Isso é rápido e seguro.

Passo 7

Próximo objetivo: calcular o torque necessário sobre cada cilindro (normalmente se pede torque por unidade de comprimento axial; se quiser o torque total multiplica-se por comprimento L). Para isso preciso do esforço cortante (tensão de cisalhamento) na direção (r\theta), dado por
\tau_{r\theta}=\mu\left(\frac{\partial v_{\theta}}{\partial r}-\frac{v_{\theta}}{r}\right).
Explico: \tau_{r\theta} é a componente do tensor de tensões visc. que corresponde ao esforço tangencial numa superfície normal à direção radial; a expressão acima é a forma em coordenadas cilíndricas para a taxa de deformação relevante multiplicada por \mu.
Calculo \partial v_{\theta}/\partial r para a nossa solução:
\frac{dv_{\theta}}{dr}=A-\frac{B}{r^{2}}.
Logo
\frac{dv_{\theta}}{dr}-\frac{v_{\theta}}{r}=A-\frac{B}{r^{2}}-\left(A+\frac{B}{r^{2}}\right)=-\frac{2B}{r^{2}}.
Portanto
\tau_{r\theta}(r)=-\frac{2\mu B}{r^{2}}.
Observe que a dependência em r cancela ao calcular o torque total por unidade de comprimento, como veremos a seguir.

Passo 8

O torque por unidade de comprimento axial transmitido através de uma circunferência de raio r é (força tangencial por unidade área \times momento de alavanca \times área lateral):
T'(r)=\int_{0}^{2\pi} \tau_{r\theta}(r)\; r\; (r\,d\theta)=2\pi r^{2}\tau_{r\theta}(r).
Substituindo \tau_{r\theta}(r)=-2\mu B/r^{2}
T' = 2\pi r^{2}\left(-\frac{2\mu B}{r^{2}}\right) = -4\pi\mu B.
Ou seja, o torque por unidade de comprimento é constante (independe de r), como deve ser para regime estacionário: o torque aplicado em um cilindro atravessa o fluido e aparece no outro cilindro com mesmo módulo.
Substituo agora a expressão para B:
T' = -4\pi\mu \; R^{2}\,\frac{\kappa^{2}(\Omega_{i}-\Omega_{o})}{1-\kappa^{2}}.
Posso reorganizar para uma forma mais usual (tirando o sinal para expressar o torque que o motor do cilindro interno precisa aplicar sobre o cilindro, por exemplo). Uma forma conveniente (magnitude com sinal associado a \Omega_{i}-\Omega_{o}) é:
T' = \frac{4\pi\mu R^{2}\kappa^{2}}{1-\kappa^{2}}\,(\Omega_{i}-\Omega_{o})\times(-1).
Escolho apresentar finalmente o torque necessário que o motor do cilindro interno deve aplicar para manter \Omega_{i} (ou seja, torque aplicado pelo cilindro sobre o fluido). Se definirmos T_i como o torque aplicado pelo eixo do cilindro interno sobre o fluido, então
T_{i}'=4\pi\mu\,\frac{R^{2}\kappa^{2}}{1-\kappa^{2}}\,(\Omega_{i}-\Omega_{o}).
E o torque aplicado pelo eixo do cilindro externo sobre o fluido tem o mesmo módulo e sentido oposto:
T_{o}'=-T_{i}'.
Explico a física: se \Omega_{i}>\Omega_{o} o cilindro interno precisa fornecer um torque positivo (no sentido de sua rotação) para vencer o atrito viscoso; o fluido, por sua vez, exerce sobre o cilindro um torque oposto. Na prática basta lembrar da fórmula positiva para o módulo e anotar que os torques nos dois corpos são opostos.

Passo 9

Resumo prático para a prova (forma compacta das fórmulas que você deve escrever rapidamente):
Distribuição de velocidade tangencial:
v_{\theta}(r)=\frac{\Omega_{o}-\Omega_{i}\kappa^{2}}{1-\kappa^{2}}\,r +\frac{R^{2}\,\kappa^{2}(\Omega_{i}-\Omega_{o})}{1-\kappa^{2}}\;\frac{1}{r}, \qquad \kappa R\le r\le R.
Torque por unidade de comprimento (torque aplicado pelo eixo do cilindro interno sobre o fluido; o do cilindro externo é igual e oposto):
T_{i}'=4\pi\mu\,\frac{R^{2}\kappa^{2}}{1-\kappa^{2}}\,(\Omega_{i}-\Omega_{o}), \qquad T_{o}'=-T_{i}'.
Nota prática: se quiser o torque total, multiplique T' pelo comprimento axial L do cilindro.

Resposta

v_{\theta}(r)=\frac{\Omega_{o}-\Omega_{i}\kappa^{2}}{1-\kappa^{2}}\,r +\frac{R^{2}\,\kappa^{2}(\Omega_{i}-\Omega_{o})}{1-\kappa^{2}}\;\frac{1}{r}
T_{i}'=4\pi\mu\,\frac{R^{2}\kappa^{2}}{1-\kappa^{2}}\,(\Omega_{i}-\Omega_{o})
T_{o}'=-\,4\pi\mu\,\frac{R^{2}\kappa^{2}}{1-\kappa^{2}}\,(\Omega_{i}-\Omega_{o})

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