O espaço entre dois cilindros coaxiais é preenchido com um fluido incompressível a uma temperatura constante. Os raios das superfícies molhadas, interna e externa, são
e
, respectivamente. As velocidades angulares de rotação dos cilindros de dentro e de fora são
e
. Determine a distribuição de velocidades no fluido e os torques sobre os dois cilindros, necessários para manter o movimento.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine duas coisas:
- A distribuição de velocidades do fluido no espaço entre dois cilindros coaxiais (isto é, como a velocidade tangencial do fluido varia com o raio
no intervalo ). - Os torques sobre os dois cilindros necessários para manter os cilindros girando com velocidades angulares dadas.
As informações dadas são:
- O fluido é incompressível e está à temperatura constante (logo a viscosidade dinâmica
pode ser tomada como constante). - O raio da superfície molhada do cilindro interno é
. - O raio da superfície molhada do cilindro externo é
. - As velocidades angulares (rotacionais) dos cilindros são
(interno) e (externo). - Não foram dadas forças de volume nem gradientes de pressão para forçar fluxo axial; o problema é o caso clássico de escoamento por cisalhamento entre cilindros coaxiais em rotação.
Passo 2
Primeiro vamos decidir o tipo de escoamento e escrever as hipóteses físicas (isto vai simplificar as equações).
- Por simetria (cilindros coaxiais e condições independentes do ângulo
e do eixo ) o escoamento é estacionário, axisimétrico e independente de . - Assumo que não há componente radial nem axial do campo de velocidades:
e . A única componente diferente de zero é a componente azimutal (tangencial) , função apenas de . - As condições de contorno são o não deslizamento (no-slip): o fluido na superfície interna tem velocidade tangencial igual à do cilindro interno e na superfície externa igual à do cilindro externo. Ou seja,
Explico por que podemos usar essas hipóteses: como as superfícies são coaxiais e as rotações são puramente azimutais, nada gera variação em
ou em
, e viscosidade só tende a produzir variação radial da componente tangencial. Esse é o cenário padrão chamado escoamento de Couette cilíndrico.
Passo 3
Agora vamos obter a equação diferencial que
satisfaz. Para um escoamento estacionário, axisimétrico, com
e
, a componente azimutal da equação de Navier–Stokes (com densidade e pressão ignoradas na direção
) reduz-se à condição de equilíbrio viscoso:
Aqui
é a viscosidade dinâmica, e o operador entre parênteses é o laplaciano na componente azimutal em coordenadas cilíndricas para as hipóteses já listadas. Como
, o que resta resolver é a equação ordinária
Passo 4
Resolvendo a equação diferencial: essa é uma equação linear de segunda ordem com solução conhecida. Uma forma direta é tentar
. Substituindo dá os modos
e
, logo a solução geral é combinação linear:
onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.
Interpretação física rápida: o termo
representa um campo de rotação como um corpo rígido (velocidade proporcional a
), e o termo
representa um campo gerado por vorticidade concentrada (decai como
). O escoamento real entre cilindros é uma combinação desses dois.
Passo 5
Aplicando as condições de contorno para determinar
e
.
Em
:
Em
:
Divido a segunda por
e a primeira por
para facilitar:
Resolvendo o sistema para
e
(faço as contas passo a passo):
Da primeira,
.
Substituo na segunda:
Multiplicando por
:
Agrupando termos em
:
Portanto
Usando
e substituindo
obtemos (faço a álgebra):
logo
Passo 6
Agora escrevo a distribuição final de velocidade tangencial
substituindo
e
:
com
Essa é a expressão que vale para
. Verifique rapidamente: para
e para
recuperamos as velocidades de contorno, como deve ser.
Vou comentar didaticamente: na prova, ao ver cilindros coaxiais rotativos, lembre-se da forma geral
. Em seguida imponha não-deslizamento nas duas fronteiras e resolva para
. Isso é rápido e seguro.
Passo 7
Próximo objetivo: calcular o torque necessário sobre cada cilindro (normalmente se pede torque por unidade de comprimento axial; se quiser o torque total multiplica-se por comprimento
). Para isso preciso do esforço cortante (tensão de cisalhamento) na direção
, dado por
Explico:
é a componente do tensor de tensões visc. que corresponde ao esforço tangencial numa superfície normal à direção radial; a expressão acima é a forma em coordenadas cilíndricas para a taxa de deformação relevante multiplicada por
.
Calculo
para a nossa solução:
Logo
Portanto
Observe que a dependência em
cancela ao calcular o torque total por unidade de comprimento, como veremos a seguir.
Passo 8
O torque por unidade de comprimento axial transmitido através de uma circunferência de raio
é (força tangencial por unidade área
momento de alavanca
área lateral):
Substituindo
dá
Ou seja, o torque por unidade de comprimento é constante (independe de
), como deve ser para regime estacionário: o torque aplicado em um cilindro atravessa o fluido e aparece no outro cilindro com mesmo módulo.
Substituo agora a expressão para
:
Posso reorganizar para uma forma mais usual (tirando o sinal para expressar o torque que o motor do cilindro interno precisa aplicar sobre o cilindro, por exemplo). Uma forma conveniente (magnitude com sinal associado a
) é:
Escolho apresentar finalmente o torque necessário que o motor do cilindro interno deve aplicar para manter
(ou seja, torque aplicado pelo cilindro sobre o fluido). Se definirmos
como o torque aplicado pelo eixo do cilindro interno sobre o fluido, então
E o torque aplicado pelo eixo do cilindro externo sobre o fluido tem o mesmo módulo e sentido oposto:
Explico a física: se
o cilindro interno precisa fornecer um torque positivo (no sentido de sua rotação) para vencer o atrito viscoso; o fluido, por sua vez, exerce sobre o cilindro um torque oposto. Na prática basta lembrar da fórmula positiva para o módulo e anotar que os torques nos dois corpos são opostos.
Passo 9
Resumo prático para a prova (forma compacta das fórmulas que você deve escrever rapidamente):
Distribuição de velocidade tangencial:
Torque por unidade de comprimento (torque aplicado pelo eixo do cilindro interno sobre o fluido; o do cilindro externo é igual e oposto):
Nota prática: se quiser o torque total, multiplique
pelo comprimento axial
do cilindro.