- O que é a distribuição de Planck? O que é a lei do deslocamento de Wien?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Explicar o que é a distribuição de Planck.
- Explicar o que é a lei do deslocamento de Wien.
Informações relevantes (não há dados numéricos extra no enunciado; são perguntas conceituais e derivacionais).
Passo 2
Primeiro precisamos entender o cenário físico: um corpo negro é um objeto ideal que absorve toda a radiação que incide sobre ele e, quando aquecido, emite radiação térmica com um espectro que depende apenas da sua temperatura. A pergunta sobre a “distribuição de Planck” pede a fórmula que descreve a intensidade dessa radiação em função da temperatura e do comprimento de onda (ou da frequência). Antes da fórmula, algumas definições importantes:
As grandezas físicas fundamentais que aparecem nas fórmulas são:
Vou agora escrever e explicar a fórmula de Planck.
Passo 3
A distribuição de Planck (forma em função do comprimento de onda) dá a intensidade por unidade de comprimento de onda emitida por um corpo negro à temperatura
. A forma clássica é
Agora explico o que cada termo significa, peça por peça:
-
é a radiância espectral por comprimento de onda: potência emitida por unidade de área, por unidade de ângulo sólido e por unidade de comprimento de onda (unidade: W·m{-2}·sr{-1}·m^{-1}). -
vem da contagem de modos do campo eletromagnético e das propriedades geométricas (quanto menor , mais modos por intervalo e mais energia “potencial” por modo). - O fator
é o fator estatístico que aparece porque a energia dos modos é quantizada (níveis discretos ) e as ocupações seguem a estatística de Bose–Einstein; ele regula a distribuição de energia entre os modos em função da razão entre energia de fóton e energia térmica .
Breve ideia de como se chega a essa expressão (esqueleto lógico, sem todo o cálculo pesado):
- Contar modos do campo eletromagnético no interior de um “caixa”: densidade de modos por unidade de volume e por unidade de frequência é
. - Cada modo tem energia média
(resultado da quantização e da estatística em equilíbrio térmico). - Multiplicando densidade de modos por
obtém-se a densidade de energia por frequência; convertendo para intensidade/radiância chega-se ao resultado . Transformando de frequência para comprimento de onda obtém-se a forma dada acima.
Passo 4
Limites físicos importantes (intuição e uso em prova):
- Limite de grandes comprimentos de onda (energia do fóton pequena:
ou ). Usando quando , a distribuição de Planck vira a fórmula clássica de Rayleigh–Jeans:
Isto mostra que, na teoria clássica, a intensidade cresce sem controle para comprimentos de onda pequenos (alto número de modos) — foi a origem do chamado “catástrofe ultravioleta”.
- Limite de pequenos comprimentos de onda (alto
, ou ). Neste caso e a distribuição se aproxima da forma de Wien:
Isto mostra decaimento exponencial no ultravioleta, resolvendo a catástrofe clássica.
Passo 5
Agora vamos para a lei do deslocamento de Wien. A ideia: a curva
para um dado
tem um pico em um certo comprimento de onda
. A lei do deslocamento relaciona esse
com a temperatura
:
constante. Vou derivar essa constante a partir de
.
- Escrevemos
novamente:
- Para achar
tomamos a derivada em relação a e igualamos a zero:
Fazer essa derivada diretamente é trabalhoso; é mais limpo introduzir a variável adimensional
- Substituindo
em e tirando fatores que dependem de mostra-se que maximizar em equivale a maximizar a função
(Saída: a dependência de
sai como fator multiplicativo e o máximo relativo depende só de
.)
- Calculamos
. Fazendo a derivada e simplificando obtemos a equação transcendental
Essa equação não tem solução em forma fechada; resolve-se numericamente para
. A solução é
- Voltando para
:
Logo a constante da lei do deslocamento é
- Substituindo valores das constantes físicas (apenas para obter o número prático):
Calculando
Portanto a lei do deslocamento de Wien (na forma em comprimento de onda) é
Observações úteis para prova:
- A constante
tem unidade de metro vezes kelvin; assim, por exemplo, se K (temperatura da superfície solar aproximada), então
o que explica por que o Sol tem pico no visível (verde-amarelo).
- Importante: a posição do pico depende se você considera a forma por comprimento de onda
ou por frequência . O pico em frequência satisfaz outra constante (porque transformação entre e muda a forma da função). Então sempre especificar qual forma você usa.
Passo 6
Intuição física e aplicações rápidas (para fixar):
- A distribuição de Planck mostra como a energia radiada por um corpo negro se distribui entre diferentes comprimentos de onda: temperatura maior desloca a distribuição para comprimentos de onda menores (mais energia em cores mais “azuis”).
- A lei de Wien é uma fórmula prática: medindo o comprimento de onda do pico da emissão de um corpo (como uma estrela), você pode estimar a sua temperatura.
- Exemplos práticos: radiação cósmica de fundo tem
K, pico ~1 mm; lâmpada incandescente (filamento) emite com pico no infravermelho dependendo da temperatura do filamento.
Passo 7
Resumo do que você precisa lembrar para a prova (passo a passo prático):
- Saber definir corpo negro e o que é radiância espectral
. - Memorizar a fórmula de Planck:
- Conhecer os limites: Rayleigh–Jeans para
e aproximação de Wien para . - Para obter a lei de Wien, transformar a variável, maximizar a função adimensional
, resolver numericamente e calcular
Boa notícia: na prova você não precisa redescobrir tudo do zero — entender cada passo e memorizar as fórmulas principais e o valor de
já resolve muitos exercícios. Você está indo bem — respira e confia no aprendizado!
Resposta
A distribuição de Planck:
.\nA lei do deslocamento de Wien:
, com
.