• O que é a distribuição de Planck? O que é a lei do deslocamento de Wien?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Explicar o que é a distribuição de Planck.
  • Explicar o que é a lei do deslocamento de Wien.
Informações relevantes (não há dados numéricos extra no enunciado; são perguntas conceituais e derivacionais).

Passo 2

Primeiro precisamos entender o cenário físico: um corpo negro é um objeto ideal que absorve toda a radiação que incide sobre ele e, quando aquecido, emite radiação térmica com um espectro que depende apenas da sua temperatura. A pergunta sobre a “distribuição de Planck” pede a fórmula que descreve a intensidade dessa radiação em função da temperatura e do comprimento de onda (ou da frequência). Antes da fórmula, algumas definições importantes:
\text{Temperatura: }T\quad(\text{em kelvin})
\text{Comprimento de onda: }\lambda\quad(\text{em metros})
\text{Frequência: }\nu\quad(\text{em hertz})ê
As grandezas físicas fundamentais que aparecem nas fórmulas são:
h\\ (\text{constante de Planck}),\quad c\\ (\text{velocidade da luz}),\quad k\\ (\text{constante de Boltzmann}).
Vou agora escrever e explicar a fórmula de Planck.

Passo 3

A distribuição de Planck (forma em função do comprimento de onda) dá a intensidade por unidade de comprimento de onda emitida por um corpo negro à temperatura T. A forma clássica é
B_\lambda(T)=\frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\cdot\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}}-1}.
Agora explico o que cada termo significa, peça por peça:
  • B_\lambda(T) é a radiância espectral por comprimento de onda: potência emitida por unidade de área, por unidade de ângulo sólido e por unidade de comprimento de onda (unidade: W·m{-2}·sr{-1}·m^{-1}).
  • 2hc^{2}/\lambda^{5} vem da contagem de modos do campo eletromagnético e das propriedades geométricas (quanto menor \lambda, mais modos por intervalo e mais energia “potencial” por modo).
  • O fator \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}}-1} é o fator estatístico que aparece porque a energia dos modos é quantizada (níveis discretos E_n = n h \nu) e as ocupações seguem a estatística de Bose–Einstein; ele regula a distribuição de energia entre os modos em função da razão entre energia de fóton h\nu e energia térmica kT.
Breve ideia de como se chega a essa expressão (esqueleto lógico, sem todo o cálculo pesado):
  1. Contar modos do campo eletromagnético no interior de um “caixa”: densidade de modos por unidade de volume e por unidade de frequência é \rho(\nu)=\dfrac{8\pi \nu^{2}}{c^{3}}.
  2. Cada modo tem energia média \langle E\rangle = \dfrac{h\nu}{e^{h\nu/(kT)}-1} (resultado da quantização E_n=n h\nu e da estatística em equilíbrio térmico).
  3. Multiplicando densidade de modos por \langle E\rangle obtém-se a densidade de energia por frequência; convertendo para intensidade/radiância chega-se ao resultado B_\nu(T)=\dfrac{2h\nu^{3}}{c^{2}}\dfrac{1}{e^{h\nu/(kT)}-1}. Transformando de frequência para comprimento de onda obtém-se a forma B_\lambda(T) dada acima.

Passo 4

Limites físicos importantes (intuição e uso em prova):
  • Limite de grandes comprimentos de onda (energia do fóton pequena: h\nu \ll kT ou \dfrac{hc}{\lambda k T}\ll1). Usando e^{x}-1\approx x quando x\ll1, a distribuição de Planck vira a fórmula clássica de Rayleigh–Jeans:
B_\lambda(T)\approx \frac{2ckT}{\lambda^{4}}.
Isto mostra que, na teoria clássica, a intensidade cresce sem controle para comprimentos de onda pequenos (alto número de modos) — foi a origem do chamado “catástrofe ultravioleta”.
  • Limite de pequenos comprimentos de onda (alto h\nu, ou \dfrac{hc}{\lambda k T}\gg1). Neste caso e^{x}\gg1 e a distribuição se aproxima da forma de Wien:
B_\lambda(T)\approx \frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}e^{-\frac{hc}{\lambda k T}}.
Isto mostra decaimento exponencial no ultravioleta, resolvendo a catástrofe clássica.

Passo 5

Agora vamos para a lei do deslocamento de Wien. A ideia: a curva B_\lambda(T) para um dado T tem um pico em um certo comprimento de onda \lambda_{\max}. A lei do deslocamento relaciona esse \lambda_{\max} com a temperatura T: \lambda_{\max}T= constante. Vou derivar essa constante a partir de B_\lambda(T).
  1. Escrevemos B_\lambda(T) novamente:
B_\lambda(T)=\frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\cdot\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}}-1}.
  1. Para achar \lambda_{\max} tomamos a derivada em relação a \lambda e igualamos a zero:
\frac{dB_\lambda}{d\lambda}=0.
Fazer essa derivada diretamente é trabalhoso; é mais limpo introduzir a variável adimensional
x=\frac{hc}{\lambda kT}\quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{hc}{kT x}.
  1. Substituindo \lambda em B_\lambda e tirando fatores que dependem de T mostra-se que maximizar B_\lambda em \lambda equivale a maximizar a função
f(x)=\frac{x^{5}}{e^{x}-1}.
(Saída: a dependência de T sai como fator multiplicativo e o máximo relativo depende só de x.)
  1. Calculamos f'(x)=0. Fazendo a derivada e simplificando obtemos a equação transcendental
(5-x)e^{x}=5.
Essa equação não tem solução em forma fechada; resolve-se numericamente para x. A solução é
x\approx 4{,}965114231\ldots
  1. Voltando para \lambda:
\lambda_{\max}=\frac{hc}{kT x}.
Logo a constante da lei do deslocamento é
b=\lambda_{\max}T=\frac{hc}{k x}.
  1. Substituindo valores das constantes físicas (apenas para obter o número prático):
h\approx 6{,}62607015\times10^{-34}\,\text{J·s},\quad c\approx 2{,}99792458\times10^{8}\,\text{m/s},
k\approx 1{,}380649\times10^{-23}\,\text{J/K},\quad x\approx 4{,}965114231.
Calculando
b=\frac{hc}{k x}\approx 2{,}89777\times10^{-3}\,\text{m·K}.
Portanto a lei do deslocamento de Wien (na forma em comprimento de onda) é
\lambda_{\max}T=b\approx 2{,}89777\times10^{-3}\,\text{m·K}.
Observações úteis para prova:
  • A constante b tem unidade de metro vezes kelvin; assim, por exemplo, se T=5800 K (temperatura da superfície solar aproximada), então
\lambda_{\max}\approx\frac{2{,}898\times10^{-3}}{5800}\\ \text{m}\approx 5{,}0\times10^{-7}\\ \text{m}=500\\ \text{nm},
o que explica por que o Sol tem pico no visível (verde-amarelo).
  • Importante: a posição do pico depende se você considera a forma por comprimento de onda B_\lambda ou por frequência B_\nu. O pico em frequência satisfaz outra constante (porque transformação entre \lambda e \nu muda a forma da função). Então sempre especificar qual forma você usa.

Passo 6

Intuição física e aplicações rápidas (para fixar):
  • A distribuição de Planck mostra como a energia radiada por um corpo negro se distribui entre diferentes comprimentos de onda: temperatura maior desloca a distribuição para comprimentos de onda menores (mais energia em cores mais “azuis”).
  • A lei de Wien é uma fórmula prática: medindo o comprimento de onda do pico da emissão de um corpo (como uma estrela), você pode estimar a sua temperatura.
  • Exemplos práticos: radiação cósmica de fundo tem T\approx2{,}725 K, pico ~1 mm; lâmpada incandescente (filamento) emite com pico no infravermelho dependendo da temperatura do filamento.

Passo 7

Resumo do que você precisa lembrar para a prova (passo a passo prático):
  1. Saber definir corpo negro e o que é radiância espectral B_\lambda(T).
  2. Memorizar a fórmula de Planck:
B_\lambda(T)=\frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}}-1}.
  1. Conhecer os limites: Rayleigh–Jeans para \dfrac{hc}{\lambda k T}\ll1 e aproximação de Wien para \dfrac{hc}{\lambda k T}\gg1.
  2. Para obter a lei de Wien, transformar a variável, maximizar a função adimensional x^{5}/(e^{x}-1), resolver numericamente (5-x)e^{x}=5 e calcular
\lambda_{\max}T=\frac{hc}{k x}\approx 2{,}89777\times10^{-3}\,\text{m·K}.
Boa notícia: na prova você não precisa redescobrir tudo do zero — entender cada passo e memorizar as fórmulas principais e o valor de b já resolve muitos exercícios. Você está indo bem — respira e confia no aprendizado!

Resposta

A distribuição de Planck: \displaystyle B_\lambda(T)=\frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}}-1}.\nA lei do deslocamento de Wien: \displaystyle \lambda_{\max}T=b, com \displaystyle b\approx 2{,}89777\times10^{-3}\,\text{m·K}.

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