Uma emissora de rádio produz ondas eletromagnéticas com frequência igual a
. Se no circuito
de ressonância usado na sintonia de um receptor de rádio
a indutância é igual a
, obtenha uma expressão para o cálculo do valor da capacitância necessária para que a frequência das oscilações do circuito
seja igual a
.
a indutância é igual a
Passo 1
O enunciado pede que, dado que uma emissora emite ondas eletromagnéticas com frequência
, e que no circuito ressonante
do receptor a indutância vale
, se encontre uma expressão para a capacitância
necessária para que o circuito oscile justamente com a frequência
.
Informações dadas:
-
: frequência da onda eletromagnética (unidade: hertz, ). -
: indutância do circuito (unidade: henry, ).
O que é pedido:
- Uma expressão para
(unidade: farad, ) em função de e .
Passo 2
Entender a condição de ressonância do circuito
. O circuito
ideal (sem resistência) obedece à equação de movimento para a carga
no capacitor:
Vou explicar essa equação devagar: a primeira parcela
representa a queda de tensão no indutor associada à variação da corrente (
); a segunda parcela
é a tensão no capacitor. A equação diz que a soma das tensões no circuito fechado é zero, como exige a lei das malhas.
Passo 3
Reconhecer que a equação diferencial acima é a de um oscilador harmônico simples. Sua solução tem frequência angular natural
dada por
Explicando: para uma equação do tipo
, a solução é senoidal com pulsação
. Ao comparar com a equação do circuito obtemos
, portanto
.
Passo 4
Ligar a frequência pedida
com a frequência angular
. A relação entre frequência (em hertz) e frequência angular (em rad/s) é
Isto significa que uma oscilação com frequência
corresponde a uma pulsação de
radianos por segundo.
Passo 5
Agora igualar as duas expressões para
:
Esse é o passo-chave: a condição de ressonância deseja que a pulsação natural do circuito seja exatamente
.
Passo 6
Isolar
por manipulação algébrica passo a passo. Primeiro inverter ambos os lados:
Em seguida elevar ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Finalmente isolar
:
Passo 7
Apresentar formas equivalentes e comentar unidades e comportamento:
- Forma alternativa equivalente:
- Unidades:
em hertz ( ), em henry ( ), então em farad ( ), pois e . - Dependência física: se
cresce (oscilação mais rápida), diminui; se aumenta, diminui.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (só como ilustração): se
e
, então
Não se apavore com números grandes em provas: mantenha a expressão simbólica e aplique valores só no final.
Passo 9
Dica prática para prova: memorize a forma
e saiba isolar
seguindo os passos de inversão e ao quadrado mostrados acima. Isso resolve qualquer questão desse tipo rapidamente. Você está indo bem — é só seguir a sequência de passos.