Uma emissora de rádio produz ondas eletromagnéticas com frequência igual a f. Se no circuito L C de ressonância usado na sintonia de um receptor de rádio
a indutância é igual a L, obtenha uma expressão para o cálculo do valor da capacitância necessária para que a frequência das oscilações do circuito L C seja igual a f.

Passo 1

O enunciado pede que, dado que uma emissora emite ondas eletromagnéticas com frequência \,f, e que no circuito ressonante L C do receptor a indutância vale \,L, se encontre uma expressão para a capacitância \,C necessária para que o circuito oscile justamente com a frequência \,f.
Informações dadas:
  • \,f : frequência da onda eletromagnética (unidade: hertz, \,\text{Hz}).
  • \,L : indutância do circuito LC (unidade: henry, \,\text{H}).
O que é pedido:
  • Uma expressão para \,C (unidade: farad, \,\text{F}) em função de \,f e \,L.

Passo 2

Entender a condição de ressonância do circuito LC. O circuito LC ideal (sem resistência) obedece à equação de movimento para a carga q(t) no capacitor:
L\,\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{q}{C}=0.
Vou explicar essa equação devagar: a primeira parcela L\,\dfrac{d^{2}q}{dt^{2}} representa a queda de tensão no indutor associada à variação da corrente ( \,i=\dfrac{dq}{dt}); a segunda parcela \dfrac{q}{C} é a tensão no capacitor. A equação diz que a soma das tensões no circuito fechado é zero, como exige a lei das malhas.

Passo 3

Reconhecer que a equação diferencial acima é a de um oscilador harmônico simples. Sua solução tem frequência angular natural \,\omega_0 dada por
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{L C}}.
Explicando: para uma equação do tipo \, \dfrac{d^{2}q}{dt^{2}}+\omega_0^{2} q=0, a solução é senoidal com pulsação \,\omega_0. Ao comparar com a equação do circuito obtemos \,\omega_0^{2}=1/(LC), portanto \,\omega_0=1/\sqrt{LC}.

Passo 4

Ligar a frequência pedida \,f com a frequência angular \,\omega_0. A relação entre frequência (em hertz) e frequência angular (em rad/s) é
\omega_0=2\pi f.
Isto significa que uma oscilação com frequência \,f corresponde a uma pulsação de \,2\pi f radianos por segundo.

Passo 5

Agora igualar as duas expressões para \,\omega_0:
\frac{1}{\sqrt{L C}}=2\pi f.
Esse é o passo-chave: a condição de ressonância deseja que a pulsação natural do circuito seja exatamente \,2\pi f.

Passo 6

Isolar \,C por manipulação algébrica passo a passo. Primeiro inverter ambos os lados:
\sqrt{L C}=\frac{1}{2\pi f}.
Em seguida elevar ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
L C=\frac{1}{(2\pi f)^{2}}.
Finalmente isolar \,C:
C=\frac{1}{(2\pi f)^{2}L}.

Passo 7

Apresentar formas equivalentes e comentar unidades e comportamento:
  • Forma alternativa equivalente:
C=\frac{1}{4\pi^{2} f^{2} L}.
  • Unidades: \,f em hertz ( \,\text{Hz}), \,L em henry ( \,\text{H}), então \,C em farad ( \,\text{F}), pois \,[C]=\dfrac{1}{[L][f]^{2}} e [f]=\text{s}^{-1}.
  • Dependência física: se \,f cresce (oscilação mais rápida), \,C diminui; se \,L aumenta, \,C diminui.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (só como ilustração): se \,f=1\\ \text{Hz} e \,L=1\\ \text{H}, então
C=\frac{1}{4\pi^{2}\cdot 1^{2}\cdot 1}=\frac{1}{4\pi^{2}}\approx 0,02533\\ \text{F}.
Não se apavore com números grandes em provas: mantenha a expressão simbólica e aplique valores só no final.

Passo 9

Dica prática para prova: memorize a forma
f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
e saiba isolar C seguindo os passos de inversão e ao quadrado mostrados acima. Isso resolve qualquer questão desse tipo rapidamente. Você está indo bem — é só seguir a sequência de passos.

Resposta

C=\frac{1}{(2\pi f)^{2}L}=\frac{1}{4\pi^{2}f^{2}L}

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