Um circuito
é alimentado por uma fonte de corrente alternada cuja frequência angular é igual a
.
(a) Qual é a frequência angular das oscilações forçadas?
(b) Escreva o valor do quadrado da frequência angular das oscilações naturais, isto é, das oscilações que ocorrem quando não existe fonte externa.
(a) Qual é a frequência angular das oscilações forçadas?
(b) Escreva o valor do quadrado da frequência angular das oscilações naturais, isto é, das oscilações que ocorrem quando não existe fonte externa.
Passo 1
O enunciado diz que há um circuito
alimentado por uma fonte de corrente alternada cuja frequência angular é
. Pergunta-se:
- (a) Qual é a frequência angular das oscilações forçadas (isto é, na presença da fonte)?
- (b) Qual é o valor do quadrado da frequência angular das oscilações naturais (isto é, sem fonte externa)?
Informações relevantes dadas / assumidas:
- Indutância do indutor:
. - Capacitância do capacitor:
. - Fonte de corrente alternada com frequência angular
. - Para obter as oscilações naturais considera-se o circuito isolado (sem fonte externa e sem dissipação/resistência).
Passo 2
Entendendo o que são “oscilações forçadas” neste contexto e por que elas têm a mesma frequência da fonte.
Explicação didática e passo a passo:
- Num circuito série
atravessado por uma corrente , a carga no capacitor está relacionada com a corrente por . - Se a fonte impõe uma corrente alternada do tipo
, então a corrente no circuito é exatamente essa (em regime forçado, desprezando transientes e resistência). Integrando, a carga é
ou seja,
oscila com frequência angular
.
- Outra forma geral (mais sistemática) é usar a linearidade da equação diferencial do circuito e procurar uma solução particular do tipo
. Substituindo na equação forçada (ver passo seguinte) mostra-se que uma solução particular existe com a mesma frequência . Em sistemas lineares com excitação senoidal, a resposta em regime permanente tem a mesma frequência da excitação (apenas com mudança de amplitude e fase). - Conclusão imediata: as oscilações forçadas têm frequência angular igual à da fonte, isto é
.
Passo 3
Agora vamos escrever a equação do circuito e derivar a frequência natural (sem fonte).
Definições e equação:
- Tensão no capacitor:
. - Tensão no indutor:
. - Na ausência de fonte externa (e sem resistência), pela lei das malhas a soma das tensões é zero:
Essa é a equação diferencial homogênea que governa as oscilações naturais do circuito.
Passo 4
Resolver a equação homogênea para obter a frequência natural.
Método (trial exponencial):
- Procura-se solução da forma
, onde é constante e é o parâmetro a determinar. - Substituindo em
dá
- Como
(solução não-trivial), obtemos a equação característica
- Isolando
:
- Logo as raízes são
com
Interpretação:
- As soluções são
, ou combinações complexas equivalentes, portanto o circuito oscila naturalmente com frequência angular . - O quadrado da frequência angular natural é então
Passo 5
Resumo físico curto e incentivo:
- Forçado: a fonte “puxa” o circuito para oscilar na sua própria frequência — a resposta em regime tem a mesma
, só mudam amplitude e fase. - Natural: sem fonte (e sem perdas) o circuito oscila livremente com
; o importante para a prova é memorizar que . Você consegue — já dominou a ideia principal!
Resposta
(a)
(b)
(b)