Um circuito L C é alimentado por uma fonte de corrente alternada cuja frequência angular é igual a \omega.
(a) Qual é a frequência angular das oscilações forçadas?
(b) Escreva o valor do quadrado da frequência angular das oscilações naturais, isto é, das oscilações que ocorrem quando não existe fonte externa.

Passo 1

O enunciado diz que há um circuito LC alimentado por uma fonte de corrente alternada cuja frequência angular é \omega. Pergunta-se:
  • (a) Qual é a frequência angular das oscilações forçadas (isto é, na presença da fonte)?
  • (b) Qual é o valor do quadrado da frequência angular das oscilações naturais (isto é, sem fonte externa)?
Informações relevantes dadas / assumidas:
  • Indutância do indutor: L.
  • Capacitância do capacitor: C.
  • Fonte de corrente alternada com frequência angular \omega.
  • Para obter as oscilações naturais considera-se o circuito isolado (sem fonte externa e sem dissipação/resistência).

Passo 2

Entendendo o que são “oscilações forçadas” neste contexto e por que elas têm a mesma frequência da fonte.
Explicação didática e passo a passo:
  • Num circuito série LC atravessado por uma corrente i(t), a carga no capacitor q(t) está relacionada com a corrente por i(t)=\dfrac{dq}{dt}.
  • Se a fonte impõe uma corrente alternada do tipo i_{\text{fonte}}(t)=I_0\cos(\omega t), então a corrente no circuito é exatamente essa (em regime forçado, desprezando transientes e resistência). Integrando, a carga é
q(t)=\int i_{\text{fonte}}(t)\,dt=\int I_0\cos(\omega t)\,dt=\frac{I_0}{\omega}\sin(\omega t),
ou seja, q(t) oscila com frequência angular \omega.
  • Outra forma geral (mais sistemática) é usar a linearidade da equação diferencial do circuito e procurar uma solução particular do tipo q_p(t)=Q e^{i\omega t}. Substituindo na equação forçada (ver passo seguinte) mostra-se que uma solução particular existe com a mesma frequência \omega. Em sistemas lineares com excitação senoidal, a resposta em regime permanente tem a mesma frequência da excitação (apenas com mudança de amplitude e fase).
  • Conclusão imediata: as oscilações forçadas têm frequência angular igual à da fonte, isto é \omega.

Passo 3

Agora vamos escrever a equação do circuito e derivar a frequência natural (sem fonte).
Definições e equação:
  • Tensão no capacitor: v_C(t)=\dfrac{q(t)}{C}.
  • Tensão no indutor: v_L(t)=L\,\dfrac{di}{dt}=L\,\dfrac{d^2 q}{dt^2}.
  • Na ausência de fonte externa (e sem resistência), pela lei das malhas a soma das tensões é zero:
L\frac{d^2 q}{dt^2}+\frac{q}{C}=0.
Essa é a equação diferencial homogênea que governa as oscilações naturais do circuito.

Passo 4

Resolver a equação homogênea para obter a frequência natural.
Método (trial exponencial):
  • Procura-se solução da forma q(t)=Q e^{s t}, onde Q é constante e s é o parâmetro a determinar.
  • Substituindo em L\frac{d^2 q}{dt^2}+\dfrac{q}{C}=0
L s^2 Q + \frac{1}{C} Q = 0.
  • Como Q\neq 0 (solução não-trivial), obtemos a equação característica
L s^2 + \frac{1}{C}=0.
  • Isolando s^2:
s^2 = -\frac{1}{LC}.
  • Logo as raízes são s=\pm i\omega_0 com
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Interpretação:
  • As soluções são q(t)=Q_1\cos(\omega_0 t)+Q_2\sin(\omega_0 t), ou combinações complexas equivalentes, portanto o circuito oscila naturalmente com frequência angular \omega_0.
  • O quadrado da frequência angular natural é então
\omega_0^2=\frac{1}{LC}.

Passo 5

Resumo físico curto e incentivo:
  • Forçado: a fonte “puxa” o circuito para oscilar na sua própria frequência — a resposta em regime tem a mesma \omega, só mudam amplitude e fase.
  • Natural: sem fonte (e sem perdas) o circuito oscila livremente com \omega_0=1/\sqrt{LC}; o importante para a prova é memorizar que \omega_0^2=1/(LC). Você consegue — já dominou a ideia principal!

Resposta

(a) \omega
(b) \dfrac{1}{LC}

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