Um capacitor possui uma carga q_{0} e é conectado em série a um indutor de indutância L e resistência R. Qual é o fator de amortecimento da amplitude das oscilações livres da carga e da corrente?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Um capacitor está inicialmente com carga \,q_{0}\,.
  • Esse capacitor é ligado em série com um indutor de indutância \,L\, e uma resistência \,R\,.
  • Pressupõe-se o caso habitual de fechamento do circuito no instante t=0, com corrente inicial \,i(0)=0\, (o capacitor estava carregado e, antes de fechar, não havia corrente).
O que é pedido:
  • Determinar o fator de amortecimento da amplitude das oscilações livres da carga \,q(t)\, e da corrente \,i(t)\, (ou seja, qual é o envelope de decaimento exponencial que multiplica as oscilações).

Passo 2

Escrevendo a equação do circuito com a Lei de Kirchhoff (KVL): a soma das quedas de tensão no indutor, no resistor e no capacitor é zero. Explicando cada termo:
  • Tensão no indutor: \,v_L = L\,\dfrac{di}{dt}\,, pois a tensão no indutor é proporcional à variação temporal da corrente.
  • Tensão no resistor: \,v_R = R\,i\,, a lei de Ohm.
  • Tensão no capacitor: \,v_C = \dfrac{q}{C}\,, já que a carga no capacitor e sua tensão estão relacionadas por q=Cv_C.
Somando e igualando a zero:
L\,\frac{di}{dt} + R\,i + \frac{q}{C} = 0.
Como i=\dfrac{dq}{dt}, substitui-se para obter uma equação apenas em q(t):
L\,\frac{d^{2}q}{dt^{2}} + R\,\frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}\,q = 0.

Passo 3

Coloca-se a equação na forma padrão de um oscilador amortecido, dividindo por L:
\frac{d^{2}q}{dt^{2}} + \frac{R}{L}\,\frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}\,q = 0.
Define-se agora parâmetros úteis e o que eles significam:
  • Frequência natural não amortecida:
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\quad\text{(unidade: rad/s)}.
  • Coeficiente de amortecimento (taxa de decaimento exponencial):
2\gamma=\frac{R}{L}\quad\Rightarrow\quad \gamma=\frac{R}{2L}\quad\text{(unidade: s}^{-1}\text{)}.
Reescrevendo:
\frac{d^{2}q}{dt^{2}} + 2\gamma\,\frac{dq}{dt} + \omega_{0}^{2}\,q = 0.
Interpretação física: \gamma é a taxa com que a amplitude das oscilações decai (em s^{-1}). A condição para oscilações amortecidas (regime subamortecido) é \gamma<\omega_{0}, caso em que as raízes da equação característica são complexas e aparecem oscilações com envelope exponencial decrescente.

Passo 4

Resolve-se a equação característica. Supõe-se o regime subamortecido ( \gamma<\omega_{0}); as raízes são
r = -\gamma \pm i\,\omega_{d}, \qquad \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}.
Logo a solução geral para a carga é
q(t)=e^{-\gamma t}\bigl(A\cos(\omega_{d}t)+B\sin(\omega_{d}t)\bigr),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Usando q(0)=q_{0} e i(0)=\dfrac{dq}{dt}\big|_{0}=0, encontra-se:
  • A=q_{0}.
  • Calculando i(t)=\dfrac{dq}{dt} e impondo i(0)=0 obtém-se B=\dfrac{\gamma}{\omega_{d}}\,q_{0}.
Assim
q(t)=q_{0}\,e^{-\gamma t}\!\left(\cos(\omega_{d}t)+\frac{\gamma}{\omega_{d}}\sin(\omega_{d}t)\right).

Passo 5

Agora veja o comportamento do envelope (fator de amortecimento) da amplitude:
  • Em q(t) há um fator multiplicativo e^{-\gamma t}. A parte entre parênteses é uma combinação trigonométrica de amplitude constante (dependente de q_{0} e \gamma/\omega_{d}), portanto a amplitude das oscilações de q(t) decai proporcionalmente a e^{-\gamma t}.
  • Para a corrente, i(t)=\dfrac{dq}{dt} também pode ser escrita como i(t)=e^{-\gamma t}\times(\text{combinação trigonométrica})çãé. Assim a amplitude da corrente também decai proporcionalmente a e^{-\gamma t}.
Substituindo \gamma pela sua expressão em termos de R e L:
\gamma=\frac{R}{2L},
logo o fator de amortecimento exponencial é
e^{-\gamma t}=e^{-\frac{R}{2L}t}.
Também é útil a constante de tempo associada ao decaimento:
\tau=\frac{1}{\gamma}=\frac{2L}{R}.

Resposta

Carga: e^{-\frac{R}{2L}t}\n
Corrente: e^{-\frac{R}{2L}t}

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