Um empreiteiro está preocupado com o comprimento de um cabo de cobre ainda no rolo. Ele mediu a resistência e descobriu que ela é de 3,14 \Omega. Uma fita métrica indicou que a espessura do cabo enrolado gira em torno de 1 / 32 polegada. Qual é seu comprimento aproximado em pés?

Passo 1

O que o exercício pede: determinar o comprimento aproximado do cabo em pés, sabendo que a resistência medida é 3,14\\ \Omega e que a espessura (diâmetro) do cabo é cerca de \tfrac{1}{32} polegada.
Dados fornecidos e constantes que vamos usar (tudo expresso em forma numérica para ficar claro):
  • Resistência: R = 3,14\\ \Omega.
  • Diâmetro do cabo: d = \dfrac{1}{32} polegada.
  • Conversão polegada → metro: 1\\ \text{in} = 0,0254\\ \text{m}.
  • Resistividade do cobre (valor típico à temperatura ambiente; usamos este valor como aproximação): \rho = 1,68\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\text{m}.
  • Conversão metro → pé: 1\\ \text{m} = 3,28084\\ \text{ft}.

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê. A relação entre resistência, resistividade, comprimento e área da secção transversal é
R = \rho \frac{L}{A},
onde:
  • R é a resistência (em \Omega);
  • \rho é a resistividade do material (em \Omega\cdot\text{m});
  • L é o comprimento do fio (em \text{m});
  • A é a área da secção transversal do fio (em \text{m}^2).
    Dessa fórmula isolamos L:
L = \frac{R\,A}{\rho}.
Então precisamos calcular a área A a partir do diâmetro dado, converter unidades corretamente e substituir.

Passo 3

Converter o diâmetro para metros e obter a área da secção circular.
Diâmetro em metros:
d = \frac{1}{32}\\ \text{in} = \frac{1}{32}\times 0,0254\\ \text{m} = 0,00079375\\ \text{m}.
Raio:
r = \frac{d}{2} = \frac{0,00079375}{2} = 0,000396875\\ \text{m}.
Área da secção (círculo):
A = \pi r^{2} = \pi \times (0,000396875)^{2}.
Calculemos r^{2}:
r^{2} = (0,000396875)^{2} = 1,57509765625\times10^{-7}\\ \text{m}^{2}.
Agora a área:
A = \pi \times 1,57509765625\times10^{-7} \approx 4,94837\times10^{-7}\\ \text{m}^{2}.

Passo 4

Calcular o comprimento L em metros usando L = \dfrac{R\,A}{\rho}. Substituindo os números:
L = \frac{3,14 \times 4,94837\times10^{-7}}{1,68\times10^{-8}}.
Calcule o numerador:
3,14 \times 4,94837\times10^{-7} \approx 1,55379\times10^{-6}.
Agora a divisão:
L \approx \frac{1,55379\times10^{-6}}{1,68\times10^{-8}} \approx 92,55\\ \text{m}.
Interpretação: o cabo tem aproximadamente 92,55 metros.

Passo 5

Converter o comprimento de metros para pés: \,1\\ \text{m}=3,28084\\ \text{ft}.
L_{\text{ft}} = 92,55\times 3,28084 \approx 303,6\\ \text{ft}.
Arredondando de forma adequada para uma estimativa prática, isso dá cerca de 304 pés. (Lembrete amigável: usamos a resistividade típica do cobre — se a temperatura do cabo for muito diferente, o valor muda um pouco, mas para fins de prova essa aproximação é padrão.)

Resposta

304\\ \text{ft}

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