Qual o diâmetro em polegadas de um fio de cobre que possui resistência 3,3 \Omega e tem o comprimento de um campo de futebol ( 100 jardas) ( \mathrm{T}=20^{\circ} )?

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o diâmetro do fio em polegadas.
Informações que o enunciado fornece:
  • resistência do fio: R=3{,}3\\ \Omega,
  • comprimento do fio: 100 jardas (isto é, 100\\ \text{jardas}),
  • temperatura: T=20^\circ (ou seja, devemos usar a resistividade do cobre à temperatura de 20^\circ).
Observação feita por mim (assunção necessária): vou usar a resistividade do cobre à temperatura de 20^\circ como \rho=1{,}68\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\text{m} (valor tabelado comum). Se você usar outro valor tabelado, o resultado muda levemente.

Passo 2

Entender a relação básica entre resistência, resistividade, comprimento e área da seção transversal.
A fórmula que liga resistência R, resistividade \rho, comprimento L e área da seção transversal A é:
R = \rho\,\frac{L}{A}.
Explicação didática dessa fórmula:
  • R é a resistência elétrica em ohms \Omega.
  • \rho é a resistividade do material em \Omega\cdot\text{m}; é uma propriedade do material que diz quão difícil é para a corrente fluir.
  • L é o comprimento do fio em metros \text{m}.
  • A é a área da seção transversal em metros quadrados \text{m}^2.
    Intuição: resistência cresce com comprimento (mais “camada” de material para atravessar) e diminui com área (mais espaço para a corrente passar).

Passo 3

Relacionar área da seção transversal com o diâmetro do fio (fio é circular).
Para um fio cilíndrico de diâmetro d a área da seção transversal é:
A = \frac{\pi d^{2}}{4}.
Aqui d é o diâmetro em metros. Essa é a fórmula da área de um círculo.

Passo 4

Isolar d na fórmula de resistência.
Substituímos A em R=\rho L/A:
R = \rho\,\frac{L}{\pi d^{2}/4} = \rho\,\frac{4L}{\pi d^{2}}.
Isolando d^{2}:
d^{2} = \rho\,\frac{4L}{\pi R}.
Portanto o diâmetro é
d = \sqrt{\rho\,\frac{4L}{\pi R}}.
Comentário didático: fizemos apenas álgebra elementar — multiplicar e reorganizar termos — para tirar d da expressão. Essa é a fórmula que usaremos.

Passo 5

Converter unidades para o Sistema Internacional e listar valores numéricos a usar.
Comprimento: 100 jardas. Conversão:
1\\ \text{jarda} = 0{,}9144\\ \text{m},
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L = 100\\ \text{jardas} = 100\times 0{,}9144\\ \text{m} = 91{,}44\\ \text{m}.
Usaremos a resistividade do cobre à 20^\circ:
\rho = 1{,}68\times 10^{-8}\\ \Omega\cdot\text{m}.
Resistência:
R = 3{,}3\\ \Omega.
Resumo numérico a colocar na fórmula:
\rho = 1{,}68\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\text{m},\quad L=91{,}44\\ \text{m},\quad R=3{,}3\\ \Omega.

Passo 6

Substituir os valores na fórmula e calcular d (mostrando contas passo a passo).
Fórmula:
d = \sqrt{\rho\,\frac{4L}{\pi R}}.
Calcule o numerador interno:
4\!\times\!\rho\!\times\!L = 4 \times \left(1{,}68\times10^{-8}\right)\times 91{,}44 = 6{,}144768\times10^{-6}.
Calcule o denominador interno:
\pi R = \pi \times 3{,}3 \approx 3{,}1415926536\times 3{,}3 = 10{,}367255745.
Dividindo:
\frac{4\rho L}{\pi R} = \frac{6{,}144768\times10^{-6}}{10{,}367255745} \approx 5{,}92579\times10^{-7}\\ \text{m}^{2}.
Agora a raiz quadrada:
d = \sqrt{5{,}92579\times10^{-7}}\\ \text{m} \approx 7{,}6971\times10^{-4}\\ \text{m}.
Interpretação: o diâmetro em metros é cerca de 7{,}70\times10^{-4}\\ \text{m}.

Passo 7

Converter o diâmetro para polegadas.
Fator de conversão:
1\\ \text{polegada} = 0{,}0254\\ \text{m}.
Logo
d = \frac{7{,}6971\times10^{-4}\\ \text{m}}{0{,}0254\\ \text{m/polegada}} \approx 0{,}0303\\ \text{polegadas}.
Comentário didático: é comum em engenharia eletrônica usar milésimos de polegada (mils), aqui 0{,}0303\\ \text{in}\approx 30{,}3 mils.

Passo 8

Arredondamento e verificação de sensibilidade.
Arredondando com três casas significativas:
d \approx 0{,}0303\\ \text{polegadas}.
Observação: se você usar uma tabela com \rho ligeiramente diferente (por exemplo 1{,}72\times10^{-8}), o resultado varia pouco (cerca de 1\% a 2\%). Portanto o valor obtido é robusto para propósitos práticos.

Resposta

d \approx 0{,}0303\\ \text{polegadas}

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