Qual o diâmetro em polegadas de um fio de cobre que possui resistência
e tem o comprimento de um campo de futebol ( 100 jardas) (
)?
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o diâmetro do fio em polegadas.
Informações que o enunciado fornece:
- resistência do fio:
, - comprimento do fio:
jardas (isto é, ), - temperatura:
(ou seja, devemos usar a resistividade do cobre à temperatura de ).
Observação feita por mim (assunção necessária): vou usar a resistividade do cobre à temperatura de
como
(valor tabelado comum). Se você usar outro valor tabelado, o resultado muda levemente.
Passo 2
Entender a relação básica entre resistência, resistividade, comprimento e área da seção transversal.
A fórmula que liga resistência
, resistividade
, comprimento
e área da seção transversal
é:
Explicação didática dessa fórmula:
-
é a resistência elétrica em ohms . -
é a resistividade do material em ; é uma propriedade do material que diz quão difícil é para a corrente fluir. -
é o comprimento do fio em metros . -
é a área da seção transversal em metros quadrados .
Intuição: resistência cresce com comprimento (mais “camada” de material para atravessar) e diminui com área (mais espaço para a corrente passar).
Passo 3
Relacionar área da seção transversal com o diâmetro do fio (fio é circular).
Para um fio cilíndrico de diâmetro
a área da seção transversal é:
Aqui
é o diâmetro em metros. Essa é a fórmula da área de um círculo.
Passo 4
Isolar
na fórmula de resistência.
Substituímos
em
:
Isolando
:
Portanto o diâmetro é
Comentário didático: fizemos apenas álgebra elementar — multiplicar e reorganizar termos — para tirar
da expressão. Essa é a fórmula que usaremos.
Passo 5
Converter unidades para o Sistema Internacional e listar valores numéricos a usar.
Comprimento:
jardas. Conversão:
logo
Usaremos a resistividade do cobre à
:
Resistência:
Resumo numérico a colocar na fórmula:
Passo 6
Substituir os valores na fórmula e calcular
(mostrando contas passo a passo).
Fórmula:
Calcule o numerador interno:
Calcule o denominador interno:
Dividindo:
Agora a raiz quadrada:
Interpretação: o diâmetro em metros é cerca de
.
Passo 7
Converter o diâmetro para polegadas.
Fator de conversão:
Logo
Comentário didático: é comum em engenharia eletrônica usar milésimos de polegada (mils), aqui
mils.
Passo 8
Arredondamento e verificação de sensibilidade.
Arredondando com três casas significativas:
Observação: se você usar uma tabela com
ligeiramente diferente (por exemplo
), o resultado varia pouco (cerca de
a
). Portanto o valor obtido é robusto para propósitos práticos.