Uma empresa adquiriu um maquinário industrial no valor de \mathrm{R} \ 500 \cdot 000,00 . Para o pagamento, o banco ofereceu um plano de financiamento em 12 parcelas mensais, iguais e sucessivas (R), sob uma taxa de juros compostos nominal de36 % ao ano, com capitalização mensal. Entretanto, o contrato prevê uma carência de 3 meses para o início do primeiro pagamento. Ou seja, a primeira parcela será paga exatamente ao final doçãêêíá4^{\circ}$ mês após a compra. Sabendo que os juros incidem normalmente durante o período de carência, a expressão que define o valor de cada parcela é:
a) \quad R=\frac{500.000 \cdot 0,36}{1-(1,36)^{-12}}
b) \quad R=\frac{500.000 \cdot 0,36 \cdot(1,36)^{3}}{1-(1,36)^{-12}}
c) \quad R=\frac{15.000 \cdot(1,03)^{3}}{1-(1,03)^{-15}}
d) \quad R=\frac{15.000 \cdot(1,03)^{4}}{1-(1,03)^{-12}}
е) \boldsymbol{R}=\frac{15.000 \cdot(1,03)^{3}}{1-(1,03)^{-12}}

Passo 1

O enunciado pede a expressão que define o valor de cada parcela R. Informações do problema (todas em TeX):
  • Valor do maquinário (principal): 500000.
  • Financiamento em 12 parcelas mensais iguais.
  • Taxa nominal anual: 0,36 (ou seja, 36\% ao ano), com capitalização mensal.
  • Há carência de 3 meses: a primeira parcela é paga ao final do 4^{\circ} mês após a compra.
  • Os juros incidem normalmente durante a carência (ou seja, o saldo cresce nesses 3 meses).
    A tarefa: escrever a expressão correta para R entre as alternativas dadas.

Passo 2

Calcular a taxa de juros efetiva por mês. A taxa nominal anual é \,0,36, capitalizada mensalmente, então a taxa mensal \,i é a divisão por 12:
i=\frac{0,36}{12}=0,03.
Interpretação: i=0,03 significa 3\% ao mês; todo mês o saldo cresce multiplicando por (1+i)=(1,03).

Passo 3

Entender o efeito da carência de 3 meses. Como os juros incidem durante a carência, o montante da dívida ao final do mês 3 (antes do primeiro pagamento) é o principal capitalizado por 3 meses:
\text{dívida no tempo }3 = 500000\cdot(1+i)^{3}.í
Aqui i é a taxa mensal definida no passo anterior; portanto
\text{dívida no tempo }3 = 500000\cdot(1,03)^{3}.í
Explicação simples: a cada mês sem pagamento o saldo é multiplicado por 1,03; em 3 meses multiplica-se por (1,03)^{3}.

Passo 4

Modelar as 12 parcelas a partir do mês 4. As parcelas são pagas nos instantes t=4,5,\dots,15 (12 pagamentos). É útil tomar o instante t=3 como “tempo zero” para a anuidade: a primeira parcela ocorre um período depois de t=3. O valor presente, no tempo t=3, de uma anuidade-imediata de n parcelas R (pagas 1,2,…,n períodos depois de t=3) é dado pela fórmula padrão:
\text{PV}_{t=3}=R\cdot\sum_{k=1}^{n}(1+i)^{-k}=R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui:
  • R é o valor de cada parcela;
  • i é a taxa por período (mensal) — já temos i=0,03;
  • n é o número de parcelas — aqui n=12.
    Breve derivação da soma geométrica (para lembrar): \sum_{k=1}^{n}(1+i)^{-k} é uma série geométrica de razão (1+i)^{-1}; sua soma é \dfrac{(1+i)^{-1}\bigl(1-(1+i)^{-n}\bigr)}{1-(1+i)^{-1}}=\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}.

Passo 5

Igualar o valor presente da anuidade no tempo t=3 à dívida nesse mesmo instante. A dívida no tempo 3 (do passo 3) deve ser igual à \text{PV}_{t=3} das 12 parcelas:
500000\cdot(1,03)^{3}=R\cdot\frac{1-(1,03)^{-12}}{0,03}.
Isolando R:
R=\frac{500000\cdot(1,03)^{3}\cdot 0,03}{1-(1,03)^{-12}}.

Passo 6

Simplificar um pouco a expressão multiplicando 500000 por 0,03. Observa-se que 500000\cdot 0,03=15000. Logo:
R=\frac{15000\cdot(1,03)^{3}}{1-(1,03)^{-12}}.
Essa é a expressão final para o valor de cada parcela, compatível com a alternativa apresentada na letra e).

Resposta

e) \displaystyle R=\frac{15.000\cdot(1,03)^{3}}{1-(1,03)^{-12}}

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