Uma empresa adquiriu um maquinário industrial no valor de
500 \cdot 000,00
36 %
4^{\circ}$ mês após a compra. Sabendo que os juros incidem normalmente durante o período de carência, a expressão que define o valor de cada parcela é:
a)
b)
c)
d)
е)
a)
b)
c)
d)
е)
Passo 1
O enunciado pede a expressão que define o valor de cada parcela
. Informações do problema (todas em TeX):
- Valor do maquinário (principal):
. - Financiamento em
parcelas mensais iguais. - Taxa nominal anual:
(ou seja, ao ano), com capitalização mensal. - Há carência de
meses: a primeira parcela é paga ao final do mês após a compra. - Os juros incidem normalmente durante a carência (ou seja, o saldo cresce nesses 3 meses).
A tarefa: escrever a expressão correta paraentre as alternativas dadas.
Passo 2
Calcular a taxa de juros efetiva por mês. A taxa nominal anual é
, capitalizada mensalmente, então a taxa mensal
é a divisão por
:
Interpretação:
significa
ao mês; todo mês o saldo cresce multiplicando por
.
Passo 3
Entender o efeito da carência de 3 meses. Como os juros incidem durante a carência, o montante da dívida ao final do mês 3 (antes do primeiro pagamento) é o principal capitalizado por 3 meses:
Aqui
é a taxa mensal definida no passo anterior; portanto
Explicação simples: a cada mês sem pagamento o saldo é multiplicado por
; em 3 meses multiplica-se por
.
Passo 4
Modelar as 12 parcelas a partir do mês 4. As parcelas são pagas nos instantes
(12 pagamentos). É útil tomar o instante
como “tempo zero” para a anuidade: a primeira parcela ocorre um período depois de
. O valor presente, no tempo
, de uma anuidade-imediata de
parcelas
(pagas 1,2,…,n períodos depois de
) é dado pela fórmula padrão:
Aqui:
-
é o valor de cada parcela; -
é a taxa por período (mensal) — já temos ; -
é o número de parcelas — aqui .
Breve derivação da soma geométrica (para lembrar):é uma série geométrica de razão ; sua soma é .
Passo 5
Igualar o valor presente da anuidade no tempo
à dívida nesse mesmo instante. A dívida no tempo
(do passo 3) deve ser igual à
das 12 parcelas:
Isolando
:
Passo 6
Simplificar um pouco a expressão multiplicando
por
. Observa-se que
. Logo:
Essa é a expressão final para o valor de cada parcela, compatível com a alternativa apresentada na letra e).
Resposta
e)