No Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), um financiamento de valor P V é pago em n prestações mensais iguais R, com taxa de juros composta i ao mês e vencimento da primeira prestação ao final do 1^{\circ} mês. Após o pagamento da k-ésima prestação (1 \leq k<n), define-se o saldo devedor S D_{k} como o valor, na data imediatamente após esse pagamento, financeiramente equivalente às prestações restantes. A expressão CORRETA para S D_{k} é:
a) \quad S D_{k}=R \cdot \frac{1-(1+i)^{-k}}{i}
b)
S D_{k}=P V \cdot(1+i)^{k}-R \cdot \frac{(1+i)^{k}-1}{1+i}
c)
S D_{k}=R \cdot \frac{1-(1+i)^{-(n-k)}}{i}
d) S D_{k}=P V \cdot(1+i)^{k}-R \cdot \frac{(1+i)^{k}-1}{i} \cdot(1+i)
e) S D_{k}=\frac{R}{(1+i)^{k}} \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}

Passo 1

O enunciado dá um financiamento de valor P V pago em n prestações mensais iguais R, taxa de juros composta i ao mês, primeira prestação ao final do 1.º mês. Foi definido o saldo devedor S D_{k} como o valor, imediatamente após o pagamento da k-ésima prestação (1\le k<n), financeiramente equivalente às prestações que ainda faltam pagar. A pergunta é: qual expressão dentre as alternativas corresponde a esse S D_{k}?
Informações relevantes do enunciado:
  • Valor financiado: P V.
  • Número total de prestações: n.
  • Prestação constante: R.
  • Taxa mensal: i.
  • Saldo devedor procurado: S D_{k}, imediatamente após a k-ésima prestação, equivalente às prestações restantes (ou seja, às próximas n-k prestações).

Passo 2

Relembrando e demonstrando a fórmula do valor atual (valor presente) de uma renda de prestações iguais (anuidade imediata): se houver n pagamentos iguais R nos instantes 1,2,\dots,n, o valor presente na data 0 é a soma descontada dessas prestações:
P V \;=\; \sum_{t=1}^{n}\frac{R}{(1+i)^{t}}.
Essa soma é uma série geométrica. Para derivá-la de forma direta, fatoramos R e usamos a soma geométrica com razão q=(1+i)^{-1}:
P V \;=\; R\sum_{t=1}^{n} q^{t} \;=\; R\cdot q\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q}.
Substituindo q=(1+i)^{-1} e simplificando 1-q=1-(1+i)^{-1}=\dfrac{i}{1+i}, obtemos a forma clássica
P V \;=\; R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui cada símbolo significa:
  • P V: valor presente (montante inicialmente emprestado).
  • R: valor de cada prestação (mensal).
  • i: taxa de juros por período (mensal).
  • n: número de prestações.

Passo 3

Agora interpretando o saldo devedor S D_{k}: imediatamente após o pagamento da k-ésima prestação, restam pagar exatamente n-k prestações idênticas R, que ocorrerão nos instantes relativos 1,2,\dots,n-k contados a partir do instante k. Portanto, o saldo devedor nessa data é simplesmente o valor presente, naquela data, das próximas n-k prestações.
Aplicando a mesma fórmula de anuidade imediata, mas com número de termos igual a n-k, o valor presente (na data imediatamente após o pagamento k) das prestações restantes é
S D_{k} \;=\; R\cdot\frac{1-(1+i)^{-(n-k)}}{i}.

Passo 4

Explicando intuitivamente: a fórmula do passo anterior é igual à fórmula do passo 2, com n trocado por n-k — isto faz sentido porque, após o pagamento k, só restam n-k pagamentos, e o saldo é exatamente o PV dessas n-k rendas futuras na data k.
Se quiser ver uma forma alternativa equivalente (útil para comparar com algumas alternativas), partimos de P V = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} e multiplicamos por (1+i)^{k} e manipulamos; verificamos a identidade
S D_{k} \;=\; P V\cdot(1+i)^{k}-R\cdot\frac{(1+i)^{k}-1}{i},
que, após simplificação algébrica, é equivalente à expressão do Passo 3 (ambas descrevem o mesmo S D_{k}). Isso confirma que a forma mais direta e mais usada é a do passo 3, com n-k.

Passo 5

Confrontando com as alternativas:
  • (a) dá R\cdot\frac{1-(1+i)^{-k}}{i}, que é o valor presente das primeiras k prestações (ou seja, soma das prestações já pagas descontadas) — portanto não pode ser o saldo devedor das prestações que restam.
  • (b) tem denominador errado na segunda parcela ( 1+i no denominador) e não coincide com a forma correta.
  • (c) é exatamente R\cdot\frac{1-(1+i)^{-(n-k)}}{i}, que é o PV na data após a k-ésima prestação das próximas n-k prestações — isto corresponde à definição de S D_{k}.
  • (d) difere por um fator (1+i) extra na subtração; não coincide com a forma correta (ver comparação algébrica do Passo 4).
  • (e) corresponde a \dfrac{R}{(1+i)^{k}}\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}, que é o P V original descontado até a data k — não é a mesma coisa que o PV das prestações futuras (é, na verdade, outra quantidade diferente).
Portanto a alternativa que corresponde exatamente à definição e à dedução do saldo devedor é a alternativa (c).

Resposta

(c) S D_{k}=R\cdot\frac{1-(1+i)^{-(n-k)}}{i}

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