No Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), um financiamento de valor
é pago em n prestações mensais iguais
, com taxa de juros composta
ao mês e vencimento da primeira prestação ao final do
mês. Após o pagamento da
-ésima prestação
, define-se o saldo devedor
como o valor, na data imediatamente após esse pagamento, financeiramente equivalente às prestações restantes. A expressão CORRETA para
é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
e)
Passo 1
O enunciado dá um financiamento de valor
pago em
prestações mensais iguais
, taxa de juros composta
ao mês, primeira prestação ao final do 1.º mês. Foi definido o saldo devedor
como o valor, imediatamente após o pagamento da
-ésima prestação
, financeiramente equivalente às prestações que ainda faltam pagar. A pergunta é: qual expressão dentre as alternativas corresponde a esse
?
Informações relevantes do enunciado:
- Valor financiado:
. - Número total de prestações:
. - Prestação constante:
. - Taxa mensal:
. - Saldo devedor procurado:
, imediatamente após a -ésima prestação, equivalente às prestações restantes (ou seja, às próximas prestações).
Passo 2
Relembrando e demonstrando a fórmula do valor atual (valor presente) de uma renda de prestações iguais (anuidade imediata): se houver
pagamentos iguais
nos instantes
, o valor presente na data 0 é a soma descontada dessas prestações:
Essa soma é uma série geométrica. Para derivá-la de forma direta, fatoramos
e usamos a soma geométrica com razão
:
Substituindo
e simplificando
, obtemos a forma clássica
Aqui cada símbolo significa:
-
: valor presente (montante inicialmente emprestado). -
: valor de cada prestação (mensal). -
: taxa de juros por período (mensal). -
: número de prestações.
Passo 3
Agora interpretando o saldo devedor
: imediatamente após o pagamento da
-ésima prestação, restam pagar exatamente
prestações idênticas
, que ocorrerão nos instantes relativos
contados a partir do instante
. Portanto, o saldo devedor nessa data é simplesmente o valor presente, naquela data, das próximas
prestações.
Aplicando a mesma fórmula de anuidade imediata, mas com número de termos igual a
, o valor presente (na data imediatamente após o pagamento
) das prestações restantes é
Passo 4
Explicando intuitivamente: a fórmula do passo anterior é igual à fórmula do passo 2, com
trocado por
— isto faz sentido porque, após o pagamento
, só restam
pagamentos, e o saldo é exatamente o PV dessas
rendas futuras na data
.
Se quiser ver uma forma alternativa equivalente (útil para comparar com algumas alternativas), partimos de
e multiplicamos por
e manipulamos; verificamos a identidade
que, após simplificação algébrica, é equivalente à expressão do Passo 3 (ambas descrevem o mesmo
). Isso confirma que a forma mais direta e mais usada é a do passo 3, com
.
Passo 5
Confrontando com as alternativas:
- (a) dá
, que é o valor presente das primeiras prestações (ou seja, soma das prestações já pagas descontadas) — portanto não pode ser o saldo devedor das prestações que restam. - (b) tem denominador errado na segunda parcela (
no denominador) e não coincide com a forma correta. - (c) é exatamente
, que é o PV na data após a -ésima prestação das próximas prestações — isto corresponde à definição de . - (d) difere por um fator
extra na subtração; não coincide com a forma correta (ver comparação algébrica do Passo 4). - (e) corresponde a
, que é o original descontado até a data — não é a mesma coisa que o PV das prestações futuras (é, na verdade, outra quantidade diferente).
Portanto a alternativa que corresponde exatamente à definição e à dedução do saldo devedor é a alternativa (c).
Resposta
(c)