Uma corporação contratou um financiamento no valor de \mathrm{R} \ 1.056 .000,00 para expansão de capital, utilizando o Sistema de Amortização Constante (SAC). O contrato estabelece um prazo de 24 parcelas mensais, com uma taxa de juros efetiva deãçã2 % ao mês, vencendo a primeira prestação ao final doêçã1^{\circ} mês. No sistema SAC, a amortização mensal é invariável, e a prestação no mês é dada pela expressãoêçãéáçãêéãP_{t}=A+J_{t} , em que são os juros calculados sobre o saldo devedor do início do período correspondente. Com base nessas condições, determine, respectivamente, o valor daãííçõ12^{\mathrm{a}} prestação \(\left(P_{12}\right) e o saldo devedor (){S D_{12}} ) imediatamente após o pagamento daó12^{a}$ prestação:
a) P_{12}=R \ 55.440,00 eS D_{12}=572.000,00$
b) \mathrm{P}_{12}=\mathrm{R} \ 55.440,00 e\mathrm{SD}{12}=528.000,00$
c) P_{12}=R \ 56.320,00 eS D
{12}=572.000,00$
d) P_{12}=R \ 56.320,00 eS D_{12}=578.000,00$
e) P_{12}=R \ 54.560,00 eS D_{12}=528.000,00$

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números do enunciado):
  • Valor do financiamento (principal): L=\mathrm{R}\$\;1.056.000,00.
  • Número de parcelas: n=24 parcelas mensais.
  • Taxa de juros efetiva mensal: i=2\% ao mês (ou seja, i=0,02).
  • Sistema: amortização constante (SAC). No SAC a amortização mensal é sempre a mesma e a prestação no mês t é P_{t}=A+J_{t}, onde J_{t} são os juros calculados sobre o saldo devedor do início do período.
    O enunciado pede: calcular a 12^{\mathrm{a}} prestação P_{12} e o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 12^{\mathrm{a}} prestação, isto é SD_{12}.

Passo 2

Explicar a fórmula da amortização constante e calcular A.
  • No SAC a parcela da amortização A é fixa e dada por dividir o principal pelo número de parcelas:
A=\frac{L}{n}.
Aqui: L=\mathrm{R}\$\;1.056.000,00 e n=24. Então calculamos
A=\frac{1.056.000}{24}.
Faço a conta: 24\cdot44.000=1.056.000. Portanto
A=\mathrm{R}\$\;44.000,00.
Significado: em cada prestação uma parte fixa de \mathrm{R}\$\;44.000,00 amortiza o principal.

Passo 3

Expressão para o saldo devedor after k pagamentos (explicando a ideia).
  • Cada pagamento reduz o saldo devedor em exatamente A (a parte de amortização). Assim, o saldo devedor imediatamente depois do pagamento k é
SD_{k}=L-k\cdot A.
  • Para calcular os juros do mês t, usa-se o saldo no início do período, que é o saldo depois do pagamento anterior: juros do mês t usam SD_{t-1}.

Passo 4

Calcular o saldo devedor no início do período 12, isto é SD_{11} (porque os juros de P_{12} são calculados sobre SD_{11}).
Usando a fórmula do passo anterior com k=11:
SD_{11}=L-11\cdot A.
Substituindo números:
SD_{11}=1.056.000-11\cdot44.000.
Calcule 11\cdot44.000=484.000. Então
SD_{11}=1.056.000-484.000=572.000.
Portanto o saldo devedor no início do mês 12 (antes de pagar a 12ª prestação) é \mathrm{R}\$\;572.000,00.

Passo 5

Calcular os juros da 12ª prestação J_{12}.
  • Juros do mês t são J_{t}=i\cdot SD_{t-1}.
    Aqui i=0,02 e SD_{11}=\mathrm{R}\$\;572.000,00. Logo
J_{12}=0,02\cdot572.000.
Multiplicando: 0,02\cdot572.000=11.440. Então
J_{12}=\mathrm{R}\$\;11.440,00.

Passo 6

Calcular a 12^{\mathrm{a}} prestação P_{12}.
  • Pelo enunciado P_{12}=A+J_{12}. Substituindo A=\mathrm{R}\$\;44.000,00 e J_{12}=\mathrm{R}\$\;11.440,00,
P_{12}=44.000+11.440=55.440.
Portanto
P_{12}=\mathrm{R}\$\;55.440,00.

Passo 7

Calcular o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 12ª prestação, SD_{12}.
  • Após pagar a 12ª prestação o saldo diminui em A em relação a SD_{11}, então
SD_{12}=SD_{11}-A.
Substituindo SD_{11}=\mathrm{R}\$\;572.000,00 e A=\mathrm{R}\$\;44.000,00:
SD_{12}=572.000-44.000=528.000.
Logo
SD_{12}=\mathrm{R}\$\;528.000,00.

Resposta

P_{12}=\mathrm{R}\$\;55.440,00
SD_{12}=\mathrm{R}\$\;528.000,00
Opção: (b)

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