Uma empresa da área agrícola dispõe de 2.000 hectares para plantar cana, laranja, milho e soja. A diretoria da empresa resolveu na repartição da área que as plantações de cana e laranja devem, juntas, ocupar uma área de no mínimo 800 hectares; e que a de milho não deve ser menor do que
da área total; e que milho e soja juntas não devem ultrapassar
da área. Sabe-se que um hectare de cana dá uma contribuição de lucro de 140,00 unidades monetárias; de laranja dá 80,00 unidades monetárias; de milho dá 75,00 unidades monetárias e de soja dá 160,00 unidades monetárias. Como deve ser dividida a área para que seja cumprida a determinação da diretoria da empresa de forma a ser obtido o lucro máximo?
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede e identificar os conhecimentos que vamos usar para resolvê-lo.
Enunciado Resumido:
Uma empresa agrícola tem 2.000 hectares para plantar cana, laranja, milho e soja. Existem algumas restrições sobre como essa terra deve ser dividida:
Uma empresa agrícola tem 2.000 hectares para plantar cana, laranja, milho e soja. Existem algumas restrições sobre como essa terra deve ser dividida:
- Cana e laranja juntas devem ocupar pelo menos 800 hectares.
- Milho deve ocupar no mínimo 20% da área total.
- Milho e soja juntas não podem ultrapassar 50% da área total.
Cada hectare de cada cultura gera um lucro diferente:
- Cana: 140 unidades monetárias
- Laranja: 80 unidades monetárias
- Milho: 75 unidades monetárias
- Soja: 160 unidades monetárias
Conteúdo da Matéria:
Vamos usar Programação Linear, que é uma técnica matemática para otimizar (maximizar ou minimizar) uma função linear sujeita a restrições também lineares.
Vamos usar Programação Linear, que é uma técnica matemática para otimizar (maximizar ou minimizar) uma função linear sujeita a restrições também lineares.
O que vamos precisar:
- Definir variáveis para representar a área de cada cultura.
- Estabelecer a função objetivo (lucro total).
- Aplicar as restrições dadas no problema.
- Resolver o sistema para encontrar os valores que maximizam o lucro.
Passo 2
Definindo as Variáveis:
Vamos chamar:
Vamos chamar:
-
= hectares de cana -
= hectares de laranja -
= hectares de milho -
= hectares de soja
Função Objetivo:
Queremos maximizar o lucro total:
Queremos maximizar o lucro total:
Passo 3
Estabelecendo as Restrições:
- Área Total Disponível:
- Cana e Laranja juntas devem ser pelo menos 800 hectares:
- Milho deve ser no mínimo 20% da área total:
- Milho e Soja juntas não podem ultrapassar 50% da área total:
- Não pode plantar áreas negativas:
Passo 4
Simplificando as Equações:
Vamos expressar em termos das outras variáveis usando a restrição da área total:
Vamos expressar
Agora, substituímos
na função de lucro:
Passo 5
Analisando a Função de Lucro:
Para maximizar o lucro:
Para maximizar o lucro:
- Quanto mais O (laranja) diminuirmos, mais o lucro aumenta, já que o coeficiente é -60.
- Quanto mais M (milho) diminuirmos, mais o lucro aumenta, já que o coeficiente é -65.
- Quanto mais S (soja) aumentarmos, mais o lucro aumenta, já que o coeficiente é +20.
Estratégia:
- Minimizar
e dentro das restrições. - Maximizar
dentro das restrições.
Passo 6
Aplicando as Restrições:
-
Minimizar
: - A menor
possível é 0.
- A menor
-
Minimizar
: -
hectares.
-
-
Maximizar
: -
- Com
, então .
-
-
Determinar
: -
hectares.
-
Passo 7
Verificando as Restrições:
-
✔️ -
✔️ -
✔️ -
✔️
Resposta
Para maximizar o lucro seguindo as restrições, a área deve ser dividida da seguinte forma:
- Cana: 1.000 hectares
- Laranja: 0 hectares
- Milho: 400 hectares
- Soja: 600 hectares
Lucro Máximo: 266.000 unidades monetárias