Uma empresa da área agrícola dispõe de 2.000 hectares para plantar cana, laranja, milho e soja. A diretoria da empresa resolveu na repartição da área que as plantações de cana e laranja devem, juntas, ocupar uma área de no mínimo 800 hectares; e que a de milho não deve ser menor do que 20 % da área total; e que milho e soja juntas não devem ultrapassar 50 % da área. Sabe-se que um hectare de cana dá uma contribuição de lucro de 140,00 unidades monetárias; de laranja dá 80,00 unidades monetárias; de milho dá 75,00 unidades monetárias e de soja dá 160,00 unidades monetárias. Como deve ser dividida a área para que seja cumprida a determinação da diretoria da empresa de forma a ser obtido o lucro máximo?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar os conhecimentos que vamos usar para resolvê-lo.
Enunciado Resumido:
Uma empresa agrícola tem 2.000 hectares para plantar cana, laranja, milho e soja. Existem algumas restrições sobre como essa terra deve ser dividida:
  1. Cana e laranja juntas devem ocupar pelo menos 800 hectares.
  2. Milho deve ocupar no mínimo 20% da área total.
  3. Milho e soja juntas não podem ultrapassar 50% da área total.
Cada hectare de cada cultura gera um lucro diferente:
  • Cana: 140 unidades monetárias
  • Laranja: 80 unidades monetárias
  • Milho: 75 unidades monetárias
  • Soja: 160 unidades monetárias
Conteúdo da Matéria:
Vamos usar Programação Linear, que é uma técnica matemática para otimizar (maximizar ou minimizar) uma função linear sujeita a restrições também lineares.
O que vamos precisar:
  • Definir variáveis para representar a área de cada cultura.
  • Estabelecer a função objetivo (lucro total).
  • Aplicar as restrições dadas no problema.
  • Resolver o sistema para encontrar os valores que maximizam o lucro.

Passo 2

Definindo as Variáveis:
Vamos chamar:
  • Lucro = 140C + 80O + 75M + 160S = hectares de cana
  • = hectares de laranja
  • = hectares de milho
  • = hectares de soja
Função Objetivo:
Queremos maximizar o lucro total:

Passo 3

Estabelecendo as Restrições:
  1. Área Total Disponível:
C + O + M + S = 2000
  1. Cana e Laranja juntas devem ser pelo menos 800 hectares:
C + O >= 800
  1. Milho deve ser no mínimo 20% da área total:
M >= 0.20 times 2000 = 400
  1. Milho e Soja juntas não podem ultrapassar 50% da área total:
M + S <= 0.50 times 2000 = 1000
  1. Não pode plantar áreas negativas:
C, O, M, S >= 0

Passo 4

Simplificando as Equações:
Vamos expressar C = 2000 - O - M - S em termos das outras variáveis usando a restrição da área total:
Lucro = 140(2000 - O - M - S) + 80O + 75M + 160S
Agora, substituímos Lucro = 280000 - 140O - 140M - 140S + 80O + 75M + 160S na função de lucro:
Lucro = 280000 - 60O - 65M + 20S

Passo 5

Analisando a Função de Lucro:
Para maximizar o lucro:
  • Quanto mais O (laranja) diminuirmos, mais o lucro aumenta, já que o coeficiente é -60.
  • Quanto mais M (milho) diminuirmos, mais o lucro aumenta, já que o coeficiente é -65.
  • Quanto mais S (soja) aumentarmos, mais o lucro aumenta, já que o coeficiente é +20.
Estratégia:
  • Minimizar e dentro das restrições.
  • Maximizar dentro das restrições.

Passo 6

Aplicando as Restrições:
  1. Minimizar :
    • A menor possível é 0.
  2. Minimizar :
    • hectares.
  3. Maximizar :
    • Com , então .
  4. Determinar :
    • hectares.

Passo 7

Verificando as Restrições:
  • ✔️
  • ✔️
  • ✔️
  • ✔️

Resposta

Para maximizar o lucro seguindo as restrições, a área deve ser dividida da seguinte forma:
  • Cana: 1.000 hectares
  • Laranja: 0 hectares
  • Milho: 400 hectares
  • Soja: 600 hectares
Lucro Máximo: 266.000 unidades monetárias

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