Uma cooperativa agrícola opera três fazendas que possuem produtividade muito próxima entre elas. A produção obtida de cada fazenda depende basicamente da área de plantio e da quantidade de água para irrigação. A tabela abaixo resume a disponibilidade destes recursos para propósito de planejamento.
Propriedade Ärea (Acres) Água (Litros)
Fazenda 1 400 1.800
Fazenda 2 650 2.200
Fazenda 3 350 950
Neste ano, a fim de diversificar sua plantação, a cooperativa decidiu plantar três tipos de culturas, a saber: milho, arroz e feijão. Cada uma das culturas possui um diferente requisito em termos da quantidade de água necessária para seu desenvolvimento. Em assembléia os cooperados decidiram quantos acres serão destinados à cada uma das três culturas, a produzir nas três fazendas gerenciadas pela cooperativa. A cooperativa aluga as colheitadeiras para operar em suas propriedades. Para evitar o conflito entre as colheitadeiras, definiu-se um limite nas áreas ocupadas por cada cultura. Os limites de área e consumo de água de cada cultura, assim como o lucro esperado por acre cultivado é dado na tabela a seguir:
Cultura Área Máxima (Acres) Consumo (Litros/Acre) Lucro (R $/Acre)
Milho 660 5,5 5.000
Arroz 880 4 4.000
Feijão 400 3,5 1.800
Ainda em assembléia definiu-se que para evitar concorrência entre os cooperados, definiu-se que a proporção de área cultivada de cada fazenda será a mesma (isto é, o percentual de área cultivada da Fazenda 1, Fazenda 2 e Fazenda 3 será idêntico e proporcional à sua área disponível). Com base no exposto elabore um programa linear capaz de definir a área de cada cultura em cada fazenda que otimize o lucro total de produção da cooperativa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve planejamento agrícola usando Programação Linear. O que a questão quer é que a cooperativa determine quanto plantar de cada cultura em cada fazenda para maximizar o lucro, respeitando limites de área e consumo de água. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre variáveis de decisão, funções objetivo e restrições em Programação Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis de decisão. Como temos três fazendas e três culturas, precisamos determinar quanto de cada cultura será plantado em cada fazenda. Vamos chamar:
  • = Acres de milho na Fazenda
  • = Acres de arroz na Fazenda
  • = Acres de feijão na Fazenda
Onde representa as Fazendas 1, 2 e 3, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos formular a função objetivo, que é maximizar o lucro total da cooperativa. Sabemos o lucro por acre de cada cultura:
  • Milho: R$5.000 por acre
  • Arroz: R$4.000 por acre
  • Feijão: R$1.800 por acre
Então, o lucro total ( 5.000 por acre - Arroz: R) será:
Z = 5000(M1 + M2 + M3) + 4000(A1 + A2 + A3) + 1800(F1 + F2 + F3)

Passo 4

Agora, vamos considerar as restrições do problema.
  1. Área Disponível nas Fazendas:
    Cada fazenda tem uma área disponível, então a soma das áreas cultivadas em cada fazenda não pode exceder sua capacidade.
    • Fazenda 1: M1 = 27M, M2 = 1328M, M3 = 14M
    • Fazenda 2: A1 = 27A, A2 = 1328A, A3 = 14A
    • Fazenda 3: F1 = 27F, F2 = 1328F, F3 = 14F
  2. Consumo de Água:
    Cada cultura tem um consumo de água por acre, e cada fazenda tem uma disponibilidade total de água.
    • Milho: 5,5 litros/acre
    • Arroz: 4 litros/acre
    • Feijão: 3,5 litros/acre
    Então, para cada fazenda:
    • Fazenda 1:
    • Fazenda 2:
    • Fazenda 3:
  3. Área Máxima por Cultura:
    Cada cultura tem um limite máximo de área total que pode ser plantada:
    • Milho:
    • Arroz:
    • Feijão:
  4. Proporção de Área entre Fazendas:
    A proporção de área cultivada deve ser a mesma em todas as fazendas, proporcional à área disponível de cada uma. Primeiro, vamos calcular a proporção de cada fazenda em relação ao total:
    • Total de área: acres
    • Proporção Fazenda 1:
    • Proporção Fazenda 2:
    • Proporção Fazenda 3:
    Então, para cada cultura:
    • Milho:
      Onde
    • Arroz:
      Onde
    • Feijão:
      Onde

Passo 5

Com as proporções definidas, podemos simplificar as variáveis. Vamos expressar todas as áreas em termos de M1 = 27M, A1 = 27A, F1 = 27F , M2 = 1328M, A2 = 1328A, F2 = 1328F e M3 = 14M, A3 = 14A, F3 = 14F :
  • Fazenda 1:
  • Fazenda 2:
  • Fazenda 3:

Passo 6

Substituindo essas relações nas restrições de área e água, vamos simplificar o sistema.
  1. Área Máxima por Fazenda:
    • Fazenda 1:
      27M + 27A + 27F <= 400 implies 27(M + A + F) <= 400 implies M + A + F <= 1400
    • Fazenda 2:
      1328M + 1328A + 1328F <= 650 implies 1328(M + A + F) <= 650 implies M + A + F <= 1400
    • Fazenda 3:
      14M + 14A + 14F <= 350 implies 14(M + A + F) <= 350 implies M + A + F <= 1400
    Todas as fazendas confirmam que 5.5(27M) + 4(27A) + 3.5(27F) <= 1800 , o que já está contemplado pelas áreas máximas das culturas.
  2. Consumo de Água:
    Vamos substituir as variáveis:
    • Fazenda 1:
      27(5.5M + 4A + 3.5F) <= 1800 implies 5.5M + 4A + 3.5F <= 6300
      Simplificando:
      5.5(1328M) + 4(1328A) + 3.5(1328F) <= 2200
    • Fazenda 2:
      1328(5.5M + 4A + 3.5F) <= 2200 implies 5.5M + 4A + 3.5F <= 4769.23
      Simplificando:
      5.5(14M) + 4(14A) + 3.5(14F) <= 950
    • Fazenda 3:
      14(5.5M + 4A + 3.5F) <= 950 implies 5.5M + 4A + 3.5F <= 3800
      Simplificando:
      M <= 660, A <= 880, F <= 400
    A restrição mais restritiva é .
  3. Área Máxima por Cultura:
    Já temos:

Passo 7

Agora, vamos compilar tudo para formular o programa linear:
Maximizar:
Z = 5000M + 4000A + 1800F
Sujeito a:
5.5M + 4A + 3.5F <= 3800 M <= 660 A <= 880 F <= 400 M + A + F <= 1400 M, A, F >= 0

Resposta

Portanto, o programa linear que otimiza o lucro total da cooperativa é:
Maximizar:
Z = 5000M + 4000A + 1800F
Sujeito a:
5.5M + 4A + 3.5F <= 3800 M <= 660 A <= 880 F <= 400 M + A + F <= 1400 M, A, F >= 0
Esse modelo pode ser resolvido utilizando métodos de Programação Linear, como o Método Simplex, para determinar os valores ideais de , e que maximizam o lucro total da cooperativa.

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