Uma empresa está avaliando o desempenho de duas linhas de produção com base no tempo médio em minutos para montagem de um componente eletrônico. Os dados estatísticos são os seguintes:
Linha Média Desvio Padrão
LINHA A 24 3
LINHA B 30 5
a) O engenheiro afirma: "Independentemente do formato das distribuições, pelo menos 75 \% dos componentes da linha A tem tempo de montagem entre 18 e 30 minutos."A afirmação é válida somente com base nas informações fornecidas? Justifique.
b) O supervisor deseja garantir ao menos 88,89 \% dos componentes da linha que obtêm seus tempos de montagem dentro de um intervalo simétrico ao redor da média. Qual deve ser a largura mínima total desse intervalo (isto é, a distancia entre o limite inferior e superior)?
c) Por que esse tipo de raciocínio pode ser util mesmo quando não se conhece o formato exato da distribuição dos tempos de montagem?

Passo 1

O enunciado nos dá duas linhas de produção com tempos de montagem cujo valor médio e desvio padrão são conhecidos: para a linha A temos \mu=24 e \sigma=3, e para a linha B temos \mu=30 e \sigma=5. Como não sabemos o formato das distribuições, vamos usar a desigualdade de Chebyshev, que garante limites sobre proporções de dados em torno da média sem exigir distribuição normal.

Passo 2

A desigualdade de Chebyshev diz que, para qualquer valor real k>1,
P\bigl(|X-\mu|\ge k\sigma\bigr)\le \frac{1}{k^2},
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P\bigl(|X-\mu|< k\sigma\bigr)\ge 1 - \frac{1}{k^2}.
Se escolhermos k=2, temos
P\bigl(|X-\mu|< 2\sigma\bigr)\ge 1 - \frac{1}{2^2}=1 - \tfrac14=0,75.
Para a linha A isso significa que pelo menos 75\% dos tempos de montagem estão em
[\,\mu - 2\sigma,\;\mu + 2\sigma\,]=[\,24-6,\;24+6\,]=[18,30].
Portanto, a afirmação do engenheiro é válida com os dados fornecidos.

Passo 3

O supervisor quer garantir pelo menos 88,89\% dos tempos dentro de um intervalo simétrico em torno da média. Pela desigualdade de Chebyshev, exigimos
1 - \frac{1}{k^2}\ge 0,8889 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{k^2}\le 0,1111 \quad\Longrightarrow\quad k^2\ge 9 \quad\Longrightarrow\quad k\ge 3.
Então o intervalo deve ser \mu\pm 3\sigma, cuja largura total é
2\cdot 3\sigma = 6\sigma.
Isso dá 6\cdot 3 = 18 min para a linha A e 6\cdot 5 = 30 min para a linha B.

Passo 4

Esse raciocínio é útil exatamente porque não depende de a distribuição ser normal ou de qualquer outro formato: a desigualdade de Chebyshev vale para qualquer distribuição com média e desvio padrão definidos. Assim obtemos garantias mínimas de cobertura mesmo sem conhecer a forma exata da distribuição.

Resposta

(a) Sim. Pela desigualdade de Chebyshev com k=2 temos pelo menos 75\% em [18,30].
(b) A largura mínima é 6\sigma, ou seja, 18 min (linha A) e 30 min (linha B).
(c) Porque a desigualdade de Chebyshev não exige nenhuma forma específica de distribuição, fornece garantias de proporção de dados mesmo com distribuição desconhecida.

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