Uma empresa está avaliando o desempenho de duas linhas de produção com base no tempo médio em minutos para montagem de um componente eletrônico. Os dados estatísticos são os seguintes:
Linha
Média
Desvio Padrão
LINHA A
24
3
LINHA B
30
5
a) O engenheiro afirma: "Independentemente do formato das distribuições, pelo menos
dos componentes da linha A tem tempo de montagem entre 18 e 30 minutos."A afirmação é válida somente com base nas informações fornecidas? Justifique.
b) O supervisor deseja garantir ao menos
dos componentes da linha que obtêm seus tempos de montagem dentro de um intervalo simétrico ao redor da média. Qual deve ser a largura mínima total desse intervalo (isto é, a distancia entre o limite inferior e superior)?
c) Por que esse tipo de raciocínio pode ser util mesmo quando não se conhece o formato exato da distribuição dos tempos de montagem?
Linha | Média | Desvio Padrão |
LINHA A | 24 | 3 |
LINHA B | 30 | 5 |
b) O supervisor deseja garantir ao menos
c) Por que esse tipo de raciocínio pode ser util mesmo quando não se conhece o formato exato da distribuição dos tempos de montagem?
Passo 1
O enunciado nos dá duas linhas de produção com tempos de montagem cujo valor médio e desvio padrão são conhecidos: para a linha A temos
e
, e para a linha B temos
e
. Como não sabemos o formato das distribuições, vamos usar a desigualdade de Chebyshev, que garante limites sobre proporções de dados em torno da média sem exigir distribuição normal.
Passo 2
A desigualdade de Chebyshev diz que, para qualquer valor real
,
logo
Se escolhermos
, temos
Para a linha A isso significa que pelo menos
dos tempos de montagem estão em
Portanto, a afirmação do engenheiro é válida com os dados fornecidos.
Passo 3
O supervisor quer garantir pelo menos
dos tempos dentro de um intervalo simétrico em torno da média. Pela desigualdade de Chebyshev, exigimos
Então o intervalo deve ser
, cuja largura total é
Isso dá
min para a linha A e
min para a linha B.
Passo 4
Esse raciocínio é útil exatamente porque não depende de a distribuição ser normal ou de qualquer outro formato: a desigualdade de Chebyshev vale para qualquer distribuição com média e desvio padrão definidos. Assim obtemos garantias mínimas de cobertura mesmo sem conhecer a forma exata da distribuição.
Resposta
(a) Sim. Pela desigualdade de Chebyshev com
temos pelo menos
em
.
(b) A largura mínima é , ou seja,
min (linha A) e
min (linha B).
(c) Porque a desigualdade de Chebyshev não exige nenhuma forma específica de distribuição, fornece garantias de proporção de dados mesmo com distribuição desconhecida.
(b) A largura mínima é
(c) Porque a desigualdade de Chebyshev não exige nenhuma forma específica de distribuição, fornece garantias de proporção de dados mesmo com distribuição desconhecida.