(2,25) 4) Uma equipe de controle ambiental está avaliando o teor de unidade relativa de um lote de fibras vegetais que compõem um novo material sustentável. Sabe-se que a variabilidade natural do teor da umidade entre amostras é alta, mas controlada com desvio padrão igual a 0,6 \%. Deseja-se estimar a umidade média real da população por meio da média amostral de modo dessa probabilidade diferir da média amostral real em no máximo 0,1 \%, seja pelo menos 95 \%. Quantas amostras independentes devem ser coletadas no minimo para que essa condição seja atendida?

Passo 1

O enunciado pede o tamanho mínimo da amostra para estimar a umidade média real \mu de uma população, sabendo que o desvio‐padrão populacional é \sigma = 0,6\%, e que queremos que a média amostral difira de \mu em no máximo E = 0,1\% com probabilidade de pelo menos 95\%. O conteúdo usado é o intervalo de confiança para a média com desvio‐padrão conhecido, que se baseia na distribuição normal.

Passo 2

Para um nível de confiança de 95\% temos significância \alpha = 0,05. O valor crítico da distribuição normal padrão que satis­faz
P\bigl(|Z|\le z_{\alpha/2}\bigr)=0,95
é
z_{\alpha/2}=z_{0{,}025}=1{,}96.

Passo 3

Em um intervalo de confiança simétrico, a margem de erro E está dada por
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Queremos E=0,1\%. Isolando n obtemos
n = \Bigl(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\Bigr)^{2}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
n = \Bigl(\frac{1{,}96 \times 0,6}{0,1}\Bigr)^{2} = \bigl(1{,}96 \times 6\bigr)^{2} = (11{,}76)^{2} \approx 138{,}30.

Passo 5

Como o tamanho de amostra deve ser inteiro e garantir a margem de erro, arredondamos para cima:
n = 139.

Resposta

139 amostras.

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