Uma empresa de componentes eletrônicos recebe lotes grandes de placas. O histórico aponta que
das placas em um lote estão defeituosas
. O lote atual tem N = 20 placas. A empresa adota a seguinte política de inspeção:
a) Custo de Inspeção: Inspecionar cada placa custa R$ 2,00.
b) Custo de Reposição: Se uma placa defeituosa for enviada ao cliente, a multa (custo de reposição e reputação) é de
} \mathbf{8 0 , 0 0}$.
c) Política: Inspecionam-se 3 placas amostrais. Se nenhuma delas estiver defeituosa, o lote inteiro é enviado sem mais inspeção. Se pelo menos uma estiver defeituosa, o lote inteiro de 20 placas é inspecionado.
d) Calcule o Valor Esperado (Esperança) do Custo Total para a empresa ao adotar esta política de inspeção.
a) Custo de Inspeção: Inspecionar cada placa custa R$ 2,00.
b) Custo de Reposição: Se uma placa defeituosa for enviada ao cliente, a multa (custo de reposição e reputação) é de } \mathbf{8 0 , 0 0}$.
c) Política: Inspecionam-se 3 placas amostrais. Se nenhuma delas estiver defeituosa, o lote inteiro é enviado sem mais inspeção. Se pelo menos uma estiver defeituosa, o lote inteiro de 20 placas é inspecionado.
d) Calcule o Valor Esperado (Esperança) do Custo Total para a empresa ao adotar esta política de inspeção.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o valor esperado (esperança) do custo total que a empresa terá ao adotar a política de inspeção descrita. Informações dadas e perguntas a responder:
- Probabilidade histórica de uma placa ser defeituosa:
. - Tamanho do lote:
placas. - Custo de inspeção por placa:
. - Custo de reposição (se uma placa defeituosa for enviada ao cliente):
. - Política de inspeção: inspecionam-se
placas amostrais; se nenhuma das estiver defeituosa, o lote inteiro é enviado sem mais inspeção; se pelo menos uma das estiver defeituosa, inspeciona-se o lote inteiro de placas.
Pergunta principal: calcular a esperança do custo total (inspeção + reposição) sob essa política.
Passo 2
Vamos modelar probabilisticamente e identificar os eventos relevantes. Defina o evento
Explicação intuitiva e técnica: cada placa, segundo o histórico, tem probabilidade
de estar defeituosa e as placas podem ser tratadas (aproximadamente) como ensaios independentes de Bernoulli. Para amostrar
placas distintas, a probabilidade de as três serem não defeituosas é o produto das probabilidades de cada uma não ser defeituosa, isto é
. Portanto:
Aqui usamos o fato de que, se cada item tem probabilidade
de “sucesso” (defeito) de forma independente, a probabilidade de obter
sucessos em
ensaios segue a distribuição binomial; em particular, a probabilidade de zero sucessos em
ensaios é
. Com
temos numericamente:
Passo 3
Vamos separar o custo total em duas partes e usar a esperança total:
Começando pelo custo de inspeção: as políticas produzem dois cenários:
- Se
ocorre (nenhuma das 3 é defeituosa), inspecionam-se apenas placas. - Se
ocorre (pelo menos uma das 3 é defeituosa), inspeciona-se o lote inteiro: placas.
Observação prática para não contar inspeções duas vezes: as 3 amostrais já foram inspecionadas; no caso de escalonar para inspeção total, as inspeções adicionais necessárias sãoplacas. Assim o número esperado de placas inspecionadas é
Explicando a fórmula: inspeção das 3 sempre ocorre (fator
); com probabilidade
há inspeção de mais 17 placas. Agora substituímos
:
Logo
Multiplicando pelo custo por inspeção
, obtemos o custo esperado de inspeção:
Passo 4
Agora o custo de reposição (multas quando placa defeituosa é enviada ao cliente). Observação crucial sobre a política: só há envio de placas possivelmente defeituosas sem inspeção adicional no caso
(nenhuma das 3 amostrais é defeituosa). Se
ocorre, inspecionando todo o lote a empresa identifica e retira as defeituosas antes do envio, logo não paga reposição por placas enviadas. Portanto a reposição só ocorre quando
acontece. Queremos a esperança condicional do número de placas defeituosas que serão enviadas dado
.
Explicação sobre expectativa condicional: dado que as
amostrais foram inspecionadas e todas são não defeituosas, as restantes
placas ainda têm, independentemente, probabilidade
de cada uma ser defeituosa (porque os ensaios são independentes). Assim a expectativa do número de defeituosas entre as
não inspecionadas, condicionada a
, é
Portanto o custo de reposição esperado dado
é
. Aplicando a probabilidade de
, a esperança total do custo de reposição é
Substituindo os valores
,
e
:
Passo 5
Somamos as duas componentes esperadas para obter o custo total esperado:
Substituindo os números:
Arredondando para centavos (moeda), temos aproximadamente
.