Uma empresa de componentes eletrônicos recebe lotes grandes de placas. O histórico aponta que 5 \% das placas em um lote estão defeituosas (p=0,05). O lote atual tem N = 20 placas. A empresa adota a seguinte política de inspeção:
a) Custo de Inspeção: Inspecionar cada placa custa R$ 2,00.
b) Custo de Reposição: Se uma placa defeituosa for enviada ao cliente, a multa (custo de reposição e reputação) é de \mathbf{R} \boldsymbol{\} \mathbf{8 0 , 0 0}$.
c) Política: Inspecionam-se 3 placas amostrais. Se nenhuma delas estiver defeituosa, o lote inteiro é enviado sem mais inspeção. Se pelo menos uma estiver defeituosa, o lote inteiro de 20 placas é inspecionado.
d) Calcule o Valor Esperado (Esperança) do Custo Total para a empresa ao adotar esta política de inspeção.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o valor esperado (esperança) do custo total que a empresa terá ao adotar a política de inspeção descrita. Informações dadas e perguntas a responder:
  • Probabilidade histórica de uma placa ser defeituosa: p=0,05.
  • Tamanho do lote: N=20 placas.
  • Custo de inspeção por placa: c_I=\text{R\$ }2,00.
  • Custo de reposição (se uma placa defeituosa for enviada ao cliente): c_R=\text{R\$ }80,00.
  • Política de inspeção: inspecionam-se 3 placas amostrais; se nenhuma das 3 estiver defeituosa, o lote inteiro é enviado sem mais inspeção; se pelo menos uma das 3 estiver defeituosa, inspeciona-se o lote inteiro de 20 placas.
    Pergunta principal: calcular a esperança do custo total (inspeção + reposição) sob essa política.

Passo 2

Vamos modelar probabilisticamente e identificar os eventos relevantes. Defina o evento
A = \{\text{nenhuma das 3 placas amostrais é defeituosa}\}.é
Explicação intuitiva e técnica: cada placa, segundo o histórico, tem probabilidade p de estar defeituosa e as placas podem ser tratadas (aproximadamente) como ensaios independentes de Bernoulli. Para amostrar 3 placas distintas, a probabilidade de as três serem não defeituosas é o produto das probabilidades de cada uma não ser defeituosa, isto é (1-p)^3. Portanto:
P(A) = (1-p)^3.
Aqui usamos o fato de que, se cada item tem probabilidade p de “sucesso” (defeito) de forma independente, a probabilidade de obter k sucessos em n ensaios segue a distribuição binomial; em particular, a probabilidade de zero sucessos em 3 ensaios é (1-p)^3. Com p=0,05 temos numericamente:
P(A) = 0,95^3 = 0,857375.

Passo 3

Vamos separar o custo total em duas partes e usar a esperança total:
\mathbb{E}[\text{Custo total}] = \mathbb{E}[\text{Custo de inspeção}] + \mathbb{E}[\text{Custo de reposição}].çãçã
Começando pelo custo de inspeção: as políticas produzem dois cenários:
  • Se A ocorre (nenhuma das 3 é defeituosa), inspecionam-se apenas 3 placas.
  • Se A^c ocorre (pelo menos uma das 3 é defeituosa), inspeciona-se o lote inteiro: 20 placas.
    Observação prática para não contar inspeções duas vezes: as 3 amostrais já foram inspecionadas; no caso de escalonar para inspeção total, as inspeções adicionais necessárias são 20-3=17 placas. Assim o número esperado de placas inspecionadas é
\mathbb{E}[\#\text{inspecionadas}] = 3\cdot 1 + 17\cdot P(A^c) = 3 + 17\bigl(1-P(A)\bigr).
Explicando a fórmula: inspeção das 3 sempre ocorre (fator 3\cdot 1); com probabilidade P(A^c) há inspeção de mais 17 placas. Agora substituímos P(A):
P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0,857375 = 0,142625.
Logo
\mathbb{E}[\#\text{inspecionadas}] = 3 + 17\cdot 0,142625 = 3 + 2,424625 = 5,424625.
Multiplicando pelo custo por inspeção c_I=\text{R\$ }2,00, obtemos o custo esperado de inspeção:
\mathbb{E}[\text{Custo de inspeção}] = c_I \cdot \mathbb{E}[\#\text{inspecionadas}] = 2 \times 5,424625 = \text{R\$ }10,84925.çã

Passo 4

Agora o custo de reposição (multas quando placa defeituosa é enviada ao cliente). Observação crucial sobre a política: só há envio de placas possivelmente defeituosas sem inspeção adicional no caso A (nenhuma das 3 amostrais é defeituosa). Se A^c ocorre, inspecionando todo o lote a empresa identifica e retira as defeituosas antes do envio, logo não paga reposição por placas enviadas. Portanto a reposição só ocorre quando A acontece. Queremos a esperança condicional do número de placas defeituosas que serão enviadas dado A.
Explicação sobre expectativa condicional: dado que as 3 amostrais foram inspecionadas e todas são não defeituosas, as restantes 17 placas ainda têm, independentemente, probabilidade p de cada uma ser defeituosa (porque os ensaios são independentes). Assim a expectativa do número de defeituosas entre as 17 não inspecionadas, condicionada a A, é
\mathbb{E}[\#\text{defeituosas entre as 17} \mid A] = 17\cdot p.
Portanto o custo de reposição esperado dado A é c_R\cdot 17\cdot p. Aplicando a probabilidade de A, a esperança total do custo de reposição é
\mathbb{E}[\text{Custo de reposição}] = P(A)\cdot c_R \cdot 17 \cdot p.çã
Substituindo os valores P(A)=0,857375, c_R=\text{R\$ }80,00 e p=0,05:
17\cdot p = 17\cdot 0,05 = 0,85,
c_R\cdot 17\cdot p = 80 \times 0,85 = \text{R\$ }68,00,
\mathbb{E}[\text{Custo de reposição}] = 0,857375 \times 68 = \text{R\$ }58,3365.çã

Passo 5

Somamos as duas componentes esperadas para obter o custo total esperado:
\mathbb{E}[\text{Custo total}] = \mathbb{E}[\text{Custo de inspeção}] + \mathbb{E}[\text{Custo de reposição}].çãçã
Substituindo os números:
\mathbb{E}[\text{Custo total}] = 10,84925 + 58,3365 = \text{R\$ }69,18575.
Arredondando para centavos (moeda), temos aproximadamente \text{R\$ }69,19.

Resposta

\text{R\$ }69,19

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