Uma máquina de usinagem industrial tem uma taxa de produção de
\mathrm{n}=12 peças por hora. A probabilidade de uma peça ser rejeitada por falha dimensional é de 15 \%. As peças são independentes.
a) Calcule a probabilidade exata de que haja exatamente 3 peças rejeitadas em uma hora de produção.
b) Determine a probabilidade de que haja exatamente 5 peças rejeitadas, dado que se sabe que houve pelo menos \mathbf{1} peça rejeitada no lote de 12 .
Dica: Use a fórmula de probabilidade condicional.

Passo 1

O enunciado nos dá uma máquina que produz n=12 peças em uma hora. Cada peça tem probabilidade de ser rejeitada igual a 0,15. As rejeições entre peças são independentes.
As questões pedidas são:
a) Calcular a probabilidade exata de haver exatamente 3 peças rejeitadas em uma hora (ou seja, em uma amostra de 12 peças).
b) Calcular a probabilidade de haver exatamente 5 peças rejeitadas, dado que se sabe que houve pelo menos 1 peça rejeitada no lote de 12 (isto é, a probabilidade condicional P(X=5 \mid X\ge 1)).
Dados relevantes listados: n=12, p=0,15 (prob. de rejeição por peça), peças independentes. Não se pedem estimativas — quer-se probabilidade exata (podemos dar valor numérico).

Passo 2

Modelo e fórmula a usar. Quando temos um número fixo n de ensaios independentes, cada um com probabilidade p de “sucesso” (aqui sucesso = peça rejeitada), a probabilidade de exatamente k sucessos é dada pela fórmula
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k}.
Explicando cada símbolo: \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k peças, p^{k} é a probabilidade de essas k serem rejeitadas, e (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade das restantes n-k não serem rejeitadas. Aqui n=12 e p=0,15; definimos também q=1-p=0,85.

Passo 3

Cálculo do item (a): probabilidade de exatamente 3 rejeitadas. Aplicando a fórmula com k=3:
P(X=3)=\binom{12}{3} (0,15)^{3} (0,85)^{9}.
Calculemos os termos passo a passo.
Cálculo do coeficiente combinatório:
\binom{12}{3}=\frac{12\cdot11\cdot10}{3\cdot2\cdot1}=220.
Potências:
(0,15)^{2}=0,0225,\qquad (0,15)^{3}=0,003375.
(0,85)^{2}=0,7225,\quad (0,85)^{3}=0,614125,\\ \ldots,\\ (0,85)^{9}\approx 0,2316169462832031.
Agora multiplicamos:
P(X=3)=220\cdot 0,003375\cdot 0,2316169462832031 \approx 0,1719755826152783.
Arredondando razoavelmente (por exemplo, 6 casas decimais) obtemos P(X=3)\approx 0,171976.

Passo 4

Preparando o item (b): probabilidade condicional. A fórmula geral de probabilidade condicional é
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui tomamos A=\{X=5\} e B=\{X\ge 1\}. Como A\subset B (se X=5 então certamente X\ge1), temos P(A\cap B)=P(A)=P(X=5). Logo
P(X=5\mid X\ge1)=\frac{P(X=5)}{P(X\ge1)}.
Também é útil escrever P(X\ge1)=1-P(X=0).

Passo 5

Cálculo de P(X=5). Aplicando a fórmula do Passo 2 com k=5:
P(X=5)=\binom{12}{5}(0,15)^{5}(0,85)^{7}.
Calculemos os termos:
Coeficiente:
\binom{12}{5}=792.
Potências de p:
(0,15)^{4}=0,00050625,\qquad (0,15)^{5}=0,0000759375.
Potência de q:
(0,85)^{7}\approx 0,32057708828125.
Multiplicando:
P(X=5)=792\cdot 0,0000759375\cdot 0,32057708828125 \approx 0,019280302586909.

Passo 6

Cálculo de P(X\ge1). Primeiro P(X=0):
P(X=0)=(0,85)^{12}\approx 0,1422417571361721.
Assim
P(X\ge1)=1-P(X=0)\approx 1-0,1422417571361721=0,8577582428638279.

Passo 7

Cálculo final da probabilidade condicional:
P(X=5\mid X\ge1)=\frac{P(X=5)}{P(X\ge1)} =\frac{0,019280302586909}{0,8577582428638279}\approx 0,022484.
Interpretando: dado que houve pelo menos uma peça rejeitada, a probabilidade de exatamente 5 rejeitadas fica cerca de 0,02248 (aprox. 2,248\%). Força aí — já vencemos a parte pesada das contas!

Resposta

P(X=3)\approx 0,171976
P(X=5\mid X\ge1)\approx 0,022484

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