Uma máquina de usinagem industrial tem uma taxa de produção de
peças por hora. A probabilidade de uma peça ser rejeitada por falha dimensional é de
. As peças são independentes.
a) Calcule a probabilidade exata de que haja exatamente 3 peças rejeitadas em uma hora de produção.
b) Determine a probabilidade de que haja exatamente 5 peças rejeitadas, dado que se sabe que houve pelo menos
peça rejeitada no lote de 12 .
Dica: Use a fórmula de probabilidade condicional.
a) Calcule a probabilidade exata de que haja exatamente 3 peças rejeitadas em uma hora de produção.
b) Determine a probabilidade de que haja exatamente 5 peças rejeitadas, dado que se sabe que houve pelo menos
Passo 1
O enunciado nos dá uma máquina que produz
peças em uma hora. Cada peça tem probabilidade de ser rejeitada igual a
. As rejeições entre peças são independentes.
As questões pedidas são:
a) Calcular a probabilidade exata de haver exatamente 3 peças rejeitadas em uma hora (ou seja, em uma amostra de 12 peças).
b) Calcular a probabilidade de haver exatamente 5 peças rejeitadas, dado que se sabe que houve pelo menos 1 peça rejeitada no lote de 12 (isto é, a probabilidade condicional ).
As questões pedidas são:
a) Calcular a probabilidade exata de haver exatamente 3 peças rejeitadas em uma hora (ou seja, em uma amostra de 12 peças).
b) Calcular a probabilidade de haver exatamente 5 peças rejeitadas, dado que se sabe que houve pelo menos 1 peça rejeitada no lote de 12 (isto é, a probabilidade condicional
Dados relevantes listados:
,
(prob. de rejeição por peça), peças independentes. Não se pedem estimativas — quer-se probabilidade exata (podemos dar valor numérico).
Passo 2
Modelo e fórmula a usar. Quando temos um número fixo
de ensaios independentes, cada um com probabilidade
de “sucesso” (aqui sucesso = peça rejeitada), a probabilidade de exatamente
sucessos é dada pela fórmula
Explicando cada símbolo:
é o número de maneiras de escolher quais
peças,
é a probabilidade de essas
serem rejeitadas, e
é a probabilidade das restantes
não serem rejeitadas. Aqui
e
; definimos também
.
Passo 3
Cálculo do item (a): probabilidade de exatamente
rejeitadas. Aplicando a fórmula com
:
Calculemos os termos passo a passo.
Cálculo do coeficiente combinatório:
Potências:
Agora multiplicamos:
Arredondando razoavelmente (por exemplo, 6 casas decimais) obtemos
.
Passo 4
Preparando o item (b): probabilidade condicional. A fórmula geral de probabilidade condicional é
Aqui tomamos
e
. Como
(se
então certamente
), temos
. Logo
Também é útil escrever
.
Passo 5
Cálculo de
. Aplicando a fórmula do Passo 2 com
:
Calculemos os termos:
Coeficiente:
Potências de
:
Potência de
:
Multiplicando:
Passo 6
Cálculo de
. Primeiro
:
Assim
Passo 7
Cálculo final da probabilidade condicional:
Interpretando: dado que houve pelo menos uma peça rejeitada, a probabilidade de exatamente 5 rejeitadas fica cerca de
(aprox.
). Força aí — já vencemos a parte pesada das contas!