Em um lote de 100 peças, cada uma tem 2 \% de chance de defeito.
a) Qual a probabilidade de haver até 3 peças defeituosas?
b) Identifique os parâmetros da Distribuição.
c) Justifique o uso dessa distribuição.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informação: há um lote de 100 peças.
  • Informação: cada peça tem probabilidade de defeito igual a 2\%, ou seja 0,02.
  • Pergunta (a): Qual a probabilidade de haver até 3 peças defeituosas?
  • Pergunta (b): Identificar os parâmetros da distribuição usada.
  • Pergunta (c): Justificar o uso dessa distribuição.

Passo 2

Definição da variável aleatória e da distribuição exata:
  • Defino X como o número de peças defeituosas nas 100 peças.
  • Em situações com um número fixo de tentativas independentes, cada uma com só dois resultados possíveis (defeito / não defeito) e probabilidade constante de “sucesso” (aqui “sucesso” = defeito) em cada tentativa, a distribuição adequada para X é a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de exatamente k defeitos é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k},
onde:
  • n é o número total de tentativas (aqui n=100);
  • p é a probabilidade de defeito em cada tentativa (aqui p=0,02);
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial que conta de quantas formas podemos escolher as k peças defeituosas entre as n (por exemplo \binom{100}{2}=\dfrac{100\cdot99}{2}).
  • A probabilidade exata pedida em (a) é a soma das probabilidades para k=0,1,2,3:
P(X\le 3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{100}{k}(0,02)^{k}(0,98)^{100-k}.
Essa expressão é correta e exata, mas calcular os termos individuais \binom{100}{k} e as potências por mão é trabalhoso.

Passo 3

Introdução e justificativa da aproximação de Poisson (ferramenta prática para a prova):
  • Há um resultado muito usado: quando n é grande e p é pequeno (de tal forma que \lambda=np fique moderado), a distribuição \mathrm{Binomial}(n,p) pode ser aproximada por uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=np.
  • A distribuição de Poisson com parâmetro \lambda tem massa de probabilidade
P(Y=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\quad k=0,1,2,\dots
onde \lambda é a média esperada (e também a variância) do número de eventos.
  • Regra prática (que aparece frequentemente em provas): se n\ge 50 e p\le 0,05 (ou ainda quando n grande e p pequeno de modo que np não seja muito grande), a aproximação de Poisson costuma ser boa. Aqui n=100 e p=0,02, então essa condição é satisfeita e \lambda=np ficará pequeno o suficiente para usar Poisson sem grande erro.

Passo 4

Aplicando a aproximação de Poisson ao problema:
  • Calculo o parâmetro
\lambda = n p = 100 \cdot 0,02 = 2.
  • Assim, aproximo X por Y\sim\mathrm{Poisson}(\lambda=2). Então
P(X\le 3)\approx P(Y\le 3)=\sum_{k=0}^{3} e^{-2}\frac{2^{k}}{k!}.

Passo 5

Cálculo detalhado dos termos da soma (mostrando passo a passo como obter o resultado numérico):
  • Calculo cada termo multiplicador em fator comum e^{-2}:
    • Para k=0: \displaystyle e^{-2}\frac{2^{0}}{0!}=e^{-2}.
    • Para k=1: \displaystyle e^{-2}\frac{2^{1}}{1!}=2e^{-2}.
    • Para k=2: \displaystyle e^{-2}\frac{2^{2}}{2!}=\frac{4}{2}e^{-2}=2e^{-2}.
    • Para k=3: \displaystyle e^{-2}\frac{2^{3}}{3!}=\frac{8}{6}e^{-2}=\frac{4}{3}e^{-2}.
  • Somando os coeficientes:
1+2+2+\frac{4}{3}=\frac{3+6+6+4}{3}=\frac{19}{3}.
  • Portanto
P(X\le 3)\approx \frac{19}{3}e^{-2}.
  • Para obter uma aproximação decimal, uso e^{2}\approx 7,389056\Rightarrow e^{-2}\approx 0,135335. Multiplicando:
P(X\le 3)\approx \frac{19}{3}\cdot 0,135335\approx 0,8571.
(Se quiser mais precisão, pode calcular e^{-2} com uma calculadora; o valor aproximado aqui é 0,85712.)

Passo 6

Conclusão interpretativa e observações finais (dicas para a prova):
  • Em provas, escreva primeiro a formulação binomial exata e depois explique que pela condição n grande e p pequeno você pode usar a aproximação de Poisson com \lambda=np. Isso mostra que você conhece a forma exata e também a aproximação justificadamente.
  • A aproximação de Poisson com \lambda=2 fornece uma resposta prática e muito precisa para P(X\le3) neste caso.

Resposta

(a) P(X\le 3)\approx 0,8571
(b) Parâmetros: n=100, p=0,02
(c) Uso da distribuição binomial porque há n tentativas independentes, cada uma com dois resultados (defeito/não defeito) e probabilidade constante p; e uso da aproximação de Poisson ( \lambda=np=2) porque n é grande e p é pequeno, tornando a aproximação prática e precisa.

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