Em um lote de 100 peças, cada uma tem
de chance de defeito.
a) Qual a probabilidade de haver até 3 peças defeituosas?
b) Identifique os parâmetros da Distribuição.
c) Justifique o uso dessa distribuição.
a) Qual a probabilidade de haver até 3 peças defeituosas?
b) Identifique os parâmetros da Distribuição.
c) Justifique o uso dessa distribuição.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Informação: há um lote de
peças. - Informação: cada peça tem probabilidade de defeito igual a
, ou seja . - Pergunta (a): Qual a probabilidade de haver até 3 peças defeituosas?
- Pergunta (b): Identificar os parâmetros da distribuição usada.
- Pergunta (c): Justificar o uso dessa distribuição.
Passo 2
Definição da variável aleatória e da distribuição exata:
- Defino
como o número de peças defeituosas nas peças. - Em situações com um número fixo de tentativas independentes, cada uma com só dois resultados possíveis (defeito / não defeito) e probabilidade constante de “sucesso” (aqui “sucesso” = defeito) em cada tentativa, a distribuição adequada para
é a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de exatamente defeitos é
onde:
-
é o número total de tentativas (aqui ); -
é a probabilidade de defeito em cada tentativa (aqui ); -
é o coeficiente binomial que conta de quantas formas podemos escolher as peças defeituosas entre as (por exemplo ). - A probabilidade exata pedida em (a) é a soma das probabilidades para
:
Essa expressão é correta e exata, mas calcular os termos individuais
e as potências por mão é trabalhoso.
Passo 3
Introdução e justificativa da aproximação de Poisson (ferramenta prática para a prova):
- Há um resultado muito usado: quando
é grande e é pequeno (de tal forma que fique moderado), a distribuição pode ser aproximada por uma distribuição de Poisson com parâmetro . - A distribuição de Poisson com parâmetro
tem massa de probabilidade
onde
é a média esperada (e também a variância) do número de eventos.
- Regra prática (que aparece frequentemente em provas): se
e (ou ainda quando grande e pequeno de modo que não seja muito grande), a aproximação de Poisson costuma ser boa. Aqui e , então essa condição é satisfeita e ficará pequeno o suficiente para usar Poisson sem grande erro.
Passo 4
Aplicando a aproximação de Poisson ao problema:
- Calculo o parâmetro
- Assim, aproximo
por . Então
Passo 5
Cálculo detalhado dos termos da soma (mostrando passo a passo como obter o resultado numérico):
- Calculo cada termo multiplicador em fator comum
: - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
- Para
- Somando os coeficientes:
- Portanto
- Para obter uma aproximação decimal, uso
. Multiplicando:
(Se quiser mais precisão, pode calcular
com uma calculadora; o valor aproximado aqui é
.)
Passo 6
Conclusão interpretativa e observações finais (dicas para a prova):
- Em provas, escreva primeiro a formulação binomial exata e depois explique que pela condição
grande e pequeno você pode usar a aproximação de Poisson com . Isso mostra que você conhece a forma exata e também a aproximação justificadamente. - A aproximação de Poisson com
fornece uma resposta prática e muito precisa para neste caso.
Resposta
(a)
(b) Parâmetros: ,
(c) Uso da distribuição binomial porque há tentativas independentes, cada uma com dois resultados (defeito/não defeito) e probabilidade constante
; e uso da aproximação de Poisson (
) porque
é grande e
é pequeno, tornando a aproximação prática e precisa.
(b) Parâmetros:
(c) Uso da distribuição binomial porque há