Uma empresa de construção está avaliando a resistência média à compressão de um novo tipo de concreto utilizado na construção de pilares. Ensaios anteriores realizados em laboratório indicam que a variância populacional da resistência é conhecida e igual a
. A equipe de controle de qualidade deseja verificar se a resistência média obtida em campo difere do valor teórico de projeto igual a 40 MPa . Para isso, foram coletadas 25 amostras, e a média amostral observada foi de
. Adote nível de significância de
. Formule o teste de hipóteses bilateral adequado e determine se há evidências de que a média real difere do valor especificado no projeto.
Passo 1
O enunciado pede que a gente verifique se a resistência média real do concreto, medida em campo, difere do valor de projeto. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
- valor teórico de projeto da média:
MPa; - variância populacional conhecida:
MPa ; - tamanho da amostra:
; - média amostral observada:
MPa; - nível de significância:
.
Perguntas do enunciado:
- Formular o teste de hipóteses bilateral apropriado.
- Determinar se há evidências de que a média real difere de
MPa ao nível .
Passo 2
Qual é o teste apropriado e por quê? Como a variância populacional
é conhecida, o teste clássico para a média é o teste-z (teste para a média com variância conhecida). Para isso precisamos supor que a amostra vem de uma população aproximadamente normal (ou que
seja grande; aqui
— normalmente aceitável se a variável não for extremamente assimétrica; o enunciado implica que podemos aplicar o teste).
Formulamos as hipóteses (teste bilateral):
Explicação rápida:
é a hipótese nula (a média é igual ao valor de projeto) e
é a alternativa bilateral (queremos detectar diferença para mais ou para menos).
Passo 3
Apresento a estatística de teste e explico cada termo. A estatística z é:
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é a média sob (aqui ); -
é o desvio padrão populacional (raiz da variância conhecida); -
é o tamanho da amostra; - o denominador
é o erro padrão da média (quantifica a variabilidade de ).
Cálculo do desvio padrão e do erro padrão:
Agora a estatística com os valores:
Interpretação:
mede quantos erros-padrão a média amostral está distante da média hipotética.
Passo 4
Determinação da região crítica e decisão pelo critério clássico. Para um teste bilateral com
devemos dividir
em duas caudas:
em cada lado. O quantil crítico da normal padrão é aproximadamente
. Assim:
- regra de rejeição: rejeitar
se .
Calculamos
. Como
, a estatística não cai na região crítica. Conclusão pelo critério de rejeição: não rejeitamos
.
Passo 5
Cálculo do p-valor e interpretação numérica. O p-valor para o teste bilateral é
onde
é normal padrão. Para
temos (usando tabelas ou valor conhecido):
Interpretação: o p-valor é cerca de
, maior que
. Portanto, não há evidência estatística suficiente para rejeitar
ao nível de
.
Passo 6
Conclusão interpretada em linguagem prática (para você usar na prova e explicar ao responsável pela qualidade):
- Resultado numérico: estatística
, p-valor . - Decisão: como
(ou ), não rejeitamos . - Significado prático: com essa amostra de
e média amostral MPa, não há evidências suficientes para afirmar que a resistência média em campo difere do valor de projeto de MPa, ao nível de significância de . Atenção: "não rejeitar " não prova que a média é exatamente MPa — apenas diz que a amostra não trouxe evidência forte o bastante contra .
Resposta
Estatística
Decisão: não rejeita-se