Uma empresa de construção está avaliando a resistência média à compressão de um novo tipo de concreto utilizado na construção de pilares. Ensaios anteriores realizados em laboratório indicam que a variância populacional da resistência é conhecida e igual a 16 \mathrm{MPa}^{2}. A equipe de controle de qualidade deseja verificar se a resistência média obtida em campo difere do valor teórico de projeto igual a 40 MPa . Para isso, foram coletadas 25 amostras, e a média amostral observada foi de 38,8 \mathrm{MPa}. Adote nível de significância de 5 \%. Formule o teste de hipóteses bilateral adequado e determine se há evidências de que a média real difere do valor especificado no projeto.

Passo 1

O enunciado pede que a gente verifique se a resistência média real do concreto, medida em campo, difere do valor de projeto. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • valor teórico de projeto da média: \mu_0 = 40 MPa;
  • variância populacional conhecida: \sigma^2 = 16 MPa ^2;
  • tamanho da amostra: n = 25;
  • média amostral observada: \bar{x} = 38,8 MPa;
  • nível de significância: \alpha = 5\% = 0,05.
Perguntas do enunciado:
  1. Formular o teste de hipóteses bilateral apropriado.
  2. Determinar se há evidências de que a média real difere de \mu_0 = 40 MPa ao nível \alpha = 0,05.

Passo 2

Qual é o teste apropriado e por quê? Como a variância populacional \sigma^2 é conhecida, o teste clássico para a média é o teste-z (teste para a média com variância conhecida). Para isso precisamos supor que a amostra vem de uma população aproximadamente normal (ou que n seja grande; aqui n=25 — normalmente aceitável se a variável não for extremamente assimétrica; o enunciado implica que podemos aplicar o teste).
Formulamos as hipóteses (teste bilateral):
H_0: \mu = 40
H_1: \mu \neq 40
Explicação rápida: H_0 é a hipótese nula (a média é igual ao valor de projeto) e H_1 é a alternativa bilateral (queremos detectar diferença para mais ou para menos).

Passo 3

Apresento a estatística de teste e explico cada termo. A estatística z é:
Z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{X} é a média amostral (aqui \bar{x}=38,8);
  • \mu_0 é a média sob H_0 (aqui 40);
  • \sigma é o desvio padrão populacional (raiz da variância conhecida);
  • n é o tamanho da amostra;
  • o denominador \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (quantifica a variabilidade de \bar{X}).
Cálculo do desvio padrão e do erro padrão:
\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{16} = 4
\text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} = 0,8ã
Agora a estatística com os valores:
\bar{x}-\mu_0 = 38,8 - 40 = -1,2
Z = \frac{-1,2}{0,8} = -1,5
Interpretação: Z mede quantos erros-padrão a média amostral está distante da média hipotética.

Passo 4

Determinação da região crítica e decisão pelo critério clássico. Para um teste bilateral com \alpha = 0,05 devemos dividir \alpha em duas caudas: \alpha/2 = 0,025 em cada lado. O quantil crítico da normal padrão é aproximadamente z_{0,025} = 1,96. Assim:
  • regra de rejeição: rejeitar H_0 se |Z| > 1,96.
Calculamos |Z| = 1,5. Como 1,5 < 1,96, a estatística não cai na região crítica. Conclusão pelo critério de rejeição: não rejeitamos H_0.

Passo 5

Cálculo do p-valor e interpretação numérica. O p-valor para o teste bilateral é
p = 2\Pr(Z \le -|z|) = 2\Pr(Z \ge |z|)
onde Z é normal padrão. Para |z|=1,5 temos (usando tabelas ou valor conhecido):
\Pr(Z \le -1,5) = 1 - \Pr(Z \le 1,5) = 1 - 0,93319 \approx 0,06681
p \approx 2 \times 0,06681 = 0,13362 \approx 0,1336
Interpretação: o p-valor é cerca de 0,1336, maior que \alpha = 0,05. Portanto, não há evidência estatística suficiente para rejeitar H_0 ao nível de 5\%.

Passo 6

Conclusão interpretada em linguagem prática (para você usar na prova e explicar ao responsável pela qualidade):
  • Resultado numérico: estatística Z = -1,5, p-valor \approx 0,1336.
  • Decisão: como p > 0,05 (ou |Z| < 1,96), não rejeitamos H_0.
  • Significado prático: com essa amostra de n=25 e média amostral 38,8 MPa, não há evidências suficientes para afirmar que a resistência média em campo difere do valor de projeto de 40 MPa, ao nível de significância de 5\%. Atenção: "não rejeitar H_0" não prova que a média é exatamente 40 MPa — apenas diz que a amostra não trouxe evidência forte o bastante contra H_0.

Resposta

\displaystyle H_0:\mu=40\quad\text{vs}\quad H_1:\mu\neq 40.
Estatística Z=\dfrac{38,8-40}{4/\sqrt{25}}=-1,5; p-valor \approx 0,1336.
Decisão: não rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0,05. Não há evidências, a 5\%, de que a média real difira de 40 MPa.

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