Uma linha de produção fabríca reguladores de tensão linear de saida noci-nal 5,000 \mathrm{~V} para equipamentos embarcados. Pelo histórico de controle de qualidade. a variabilidade do proccsso para a tensão de saída tern desvio padräo de 0,03 V. Foi retirada uma amostra alcatória de 100 reguladores e mediu-se a tensiōo de salda de cada um. A média amostral observada foi de 5,010 V. Construir o intervalo de confiança de 80% para a média verdadeira da tenszo de saida do regulador.

Passo 1

O enunciado pede que eu construa o intervalo de confiança de 80\% para a média verdadeira da tensão de saída dos reguladores.\n
Dados fornecidos (listei tudo que aparece no enunciado):\n
  • Desvio padrão do processo (histórico): \sigma = 0,03 V.\n
  • Tamanho da amostra: n = 100.\n
  • Média amostral observada: \bar{x} = 5,010 V.\n
  • Nível de confiança desejado: 80\%.\n

Passo 2

Decidindo o método (sem enrolação): como o enunciado informou o desvio padrão do processo \sigma e a amostra é razoavelmente grande ( n=100), o intervalo de confiança para a média será construído usando a distribuição normal padrão (ou seja, com o quantil z). Isto porque quando \sigma é conhecido usamos o quantil z em vez do t. Não se preocupe com nomes — mais abaixo eu mostro a fórmula e cada pedacinho dela bem mastigado.

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança quando \sigma é conhecido (vou explicar cada termo):\n
\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\n
Explicando as letras:\n
  • \bar{x} é a média amostral observada (aqui \bar{x}=5,010).\n
  • z_{\alpha/2} é o valor crítico da distribuição normal padrão que deixa \alpha/2 de área na cauda superior; para nível de confiança 1-\alpha temos \alpha=1-(\text{confiança})ç.\n
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (aqui \sigma=0,03).\n
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=100).\n
  • \frac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (também chamado de SE). Ele mede quanto a média amostral costuma variar de uma amostra para outra.

Passo 4

Calcular z_{\alpha/2}:\n
  • O nível de confiança é 80\%, então \alpha = 1-0,80 = 0,20.\n
  • Assim \alpha/2 = 0,10.\n
  • Precisamos do quantil z_{0,10}, ou seja, o valor de z tal que P(Z>z)=0,10 para Z\sim N(0,1). Pela tabela da normal ou pela função inversa, esse valor é aproximadamente\n
z_{0,10} \approx 1,2816.

Passo 5

Calcular o erro padrão da média (SE):\n
\text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0,03}{\sqrt{100}}.\n
Como \sqrt{100}=10, temos\n
\text{SE} = \frac{0,03}{10} = 0,003.

Passo 6

Calcular a margem de erro (ME):\n
\text{ME} = z_{0,10}\times \text{SE} \approx 1,2816 \times 0,003.\n
Fazendo a conta:\n
\text{ME} \approx 0,0038448 \approx 0,0038\\ (\text{arredondando a 4 casas decimais: }0,0038).\n
(Se preferir mais precisão, mantenha 0,0038448. Eu vou usar 0,0038448 nas contas exatas e arredondar o resultado final de forma sensata.)

Passo 7

Construir o intervalo somando e subtraindo a margem de erro da média amostral:\n
  • Limite inferior:\n
\bar{x} - \text{ME} = 5,010 - 0,0038448 = 5,0061552.\n
  • Limite superior:\n
\bar{x} + \text{ME} = 5,010 + 0,0038448 = 5,0138448.\n
Arredondando de modo conveniente (quatro casas decimais após a vírgula), obtemos o intervalo\n
[5,0062,\\\ 5,0138].

Resposta

[5,0062,\\\ 5,0138]

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