f(x)= \begin{cases}K(2-x) & , \operatorname{se} 0 \leq x<1 \\\ K & , \operatorname{se} 1 \leq x \leq 2 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}
O valor de K para que (f x) seja uma função densidade de probabilidade (valor 2,5).
Passo 1
O enunciado fornece a função por partes (peguei a expressão do próprio enunciado; a imagem está desfocada mas a função já está escrita no texto). Pede-se: encontrar o valor de K para que f seja uma função densidade de probabilidade. Informações dadas e incógnitas:
Para 0 \leq x < 1: f(x)=K(2-x).
Para 1 \leq x \leq 2: f(x)=K.
Para outros x: f(x)=0.
Incógnita: K.
Condição que precisamos usar: uma função densidade deve integrar 1 em todo o eixo real (e ser não-negativa).
Passo 2
Explicação da condição que vamos usar (aulas rápidas): para qualquer função densidade f, a área total sob f sobre toda a reta real deve ser 1. Isso se escreve
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [0,2], basta integrar só em [0,2]. Assim vamos calcular
\int_{1}^{2} K\,dx = K\int_{1}^{2} 1\,dx = K(2-1) = K.
Passo 5
Somar as duas contribuições e aplicar a condição de normalização:
\int_{0}^{2} f(x)\,dx = K\cdot \frac{3}{2} + K = K\left(\frac{3}{2}+1\right)=K\cdot\frac{5}{2}.
Igualando a 1 (porque a área total deve ser 1):
K\cdot\frac{5}{2}=1.
Isolando K:
K = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5}.
Passo 6
Verificação rápida da não-negatividade: \displaystyle K=\frac{2}{5}=0{,}4>0, portanto f(x) é não-negativa em todo domínio e a normalização está correta. Dica de prova: em questões parecidas, sempre identifique os intervalos onde a função é não‑zero e some as áreas (integrais) desses intervalos.