(Valer 2.5) Dada a seguinte função:
RA: 23 ers ==11:
f(x)= \begin{cases}K(2-x) & , \operatorname{se} 0 \leq x<1 \\\ K & , \operatorname{se} 1 \leq x \leq 2 \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}á
O valor de K para que (f x) seja uma função densidade de probabilidade (valor 2,5).

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes (peguei a expressão do próprio enunciado; a imagem está desfocada mas a função já está escrita no texto). Pede-se: encontrar o valor de K para que f seja uma função densidade de probabilidade. Informações dadas e incógnitas:
  • Para 0 \leq x < 1: f(x)=K(2-x).
  • Para 1 \leq x \leq 2: f(x)=K.
  • Para outros x: f(x)=0.
  • Incógnita: K.
  • Condição que precisamos usar: uma função densidade deve integrar 1 em todo o eixo real (e ser não-negativa).

Passo 2

Explicação da condição que vamos usar (aulas rápidas): para qualquer função densidade f, a área total sob f sobre toda a reta real deve ser 1. Isso se escreve
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [0,2], basta integrar só em [0,2]. Assim vamos calcular
\int_{0}^{2} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} K(2-x)\,dx + \int_{1}^{2} K\,dx
e igualar a 1. Também é bom lembrar que, ao final, K precisa ser não-negativo para f ser não-negativa; vamos checar isso.

Passo 3

Calcular a primeira integral com detalhes (mostrando antiderivadas):
\int_{0}^{1} K(2-x)\,dx = K\int_{0}^{1} (2-x)\,dx.
Separe em duas integrais:
K\left(\int_{0}^{1} 2\,dx - \int_{0}^{1} x\,dx\right).
As antiderivadas são \int 2\,dx = 2x e \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}. Avaliando em 0 a 1:
K\left(2\cdot 1 - \frac{1^{2}}{2} - (2\cdot 0 - \frac{0^{2}}{2})\right) = K\left(2 - \frac{1}{2}\right) = K\cdot \frac{3}{2}.

Passo 4

Calcular a segunda integral:
\int_{1}^{2} K\,dx = K\int_{1}^{2} 1\,dx = K(2-1) = K.

Passo 5

Somar as duas contribuições e aplicar a condição de normalização:
\int_{0}^{2} f(x)\,dx = K\cdot \frac{3}{2} + K = K\left(\frac{3}{2}+1\right)=K\cdot\frac{5}{2}.
Igualando a 1 (porque a área total deve ser 1):
K\cdot\frac{5}{2}=1.
Isolando K:
K = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5}.

Passo 6

Verificação rápida da não-negatividade: \displaystyle K=\frac{2}{5}=0{,}4>0, portanto f(x) é não-negativa em todo domínio e a normalização está correta. Dica de prova: em questões parecidas, sempre identifique os intervalos onde a função é não‑zero e some as áreas (integrais) desses intervalos.

Resposta

\displaystyle K=\frac{2}{5}

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