Uma empresa consultou 600 consumidores sobre a satisfação em relação a um certo produto. Cada consumidor deu uma nota, de 0 a 10 para o produto, e a média final das notas foi 8,5 . Calcule o número mínimo de consumidores que a empresa deve consultar para que a média passe para 9.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Foi consultado um total inicial de
consumidores. - Cada consumidor dá uma nota entre
e . - A média das notas desses
consumidores é . - A pergunta: qual o número mínimo de consumidores que a empresa deve consultar para que a média passe para
? (Aqui entendemos “consultar” como o número de consumidores adicionais a serem consultados após os iniciais.)
Passo 2
Entendendo a média e como manipulá-la (mini-aula).
- A média aritmética das notas de um conjunto de consumidores é dada por
- Se um grupo tem
consumidores e média , então a soma das notas desse grupo é
Isto é útil porque podemos trabalhar com somas totais em vez de recalcular médias diretamente.
Passo 3
Calcular a soma total das notas dos
consumidores já consultados.
- Como temos
consumidores com média , a soma das notas é
- Calculando:
Passo 4
Estratégia para minimizar o número adicional de consumidores.
- Para que a média global suba o máximo possível com o menor número de novas consultas, os novos consumidores devem dar a maior nota possível, que é
. - Seja
o número de consumidores adicionais que a empresa vai consultar, todos dando nota . O novo total de consumidores será e a nova soma de notas será .
Passo 5
Montar a condição para que a nova média seja pelo menos
e resolver a inequação.
- Queremos que a nova média seja
, isto é:
- Resolver a inequação:
Passo 6
Interpretação final e detalhe sobre inteiro mínimo.
- A solução da inequação dá
. Como é número de pessoas (inteiro não negativo), o menor valor inteiro que satisfaz é . - Verificação rápida: com
a nova soma é e o total de consumidores é , então a média é
- Portanto são necessárias
consultas adicionais (no melhor caso, todas com nota ) para que a média atinja exatamente .
Resposta
300