Uma empresa consultou 600 consumidores sobre a satisfação em relação a um certo produto. Cada consumidor deu uma nota, de 0 a 10 para o produto, e a média final das notas foi 8,5 . Calcule o número mínimo de consumidores que a empresa deve consultar para que a média passe para 9.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Foi consultado um total inicial de 600 consumidores.
  • Cada consumidor dá uma nota entre 0 e 10.
  • A média das notas desses 600 consumidores é 8,5.
  • A pergunta: qual o número mínimo de consumidores que a empresa deve consultar para que a média passe para 9? (Aqui entendemos “consultar” como o número de consumidores adicionais a serem consultados após os 600 iniciais.)

Passo 2

Entendendo a média e como manipulá-la (mini-aula).
  • A média aritmética das notas de um conjunto de consumidores é dada por
\bar{x}=\frac{\text{soma das notas}}{\text{número de consumidores}}.ú
  • Se um grupo tem n consumidores e média \bar{x}, então a soma das notas desse grupo é
\text{soma} = n\cdot\bar{x}.
Isto é útil porque podemos trabalhar com somas totais em vez de recalcular médias diretamente.

Passo 3

Calcular a soma total das notas dos 600 consumidores já consultados.
  • Como temos 600 consumidores com média 8,5, a soma das notas é
S_{\text{inicial}} = 600 \times 8,5.
  • Calculando:
S_{\text{inicial}} = 600 \times 8,5 = 5100.

Passo 4

Estratégia para minimizar o número adicional de consumidores.
  • Para que a média global suba o máximo possível com o menor número de novas consultas, os novos consumidores devem dar a maior nota possível, que é 10.
  • Seja k o número de consumidores adicionais que a empresa vai consultar, todos dando nota 10. O novo total de consumidores será 600+k e a nova soma de notas será 5100+10k.

Passo 5

Montar a condição para que a nova média seja pelo menos 9 e resolver a inequação.
  • Queremos que a nova média seja \ge 9, isto é:
\frac{5100+10k}{600+k} \ge 9.
  • Resolver a inequação:
5100+10k \ge 9(600+k).
5100+10k \ge 5400+9k.
10k-9k \ge 5400-5100.
k \ge 300.

Passo 6

Interpretação final e detalhe sobre inteiro mínimo.
  • A solução da inequação dá k \ge 300. Como k é número de pessoas (inteiro não negativo), o menor valor inteiro que satisfaz é k=300.
  • Verificação rápida: com k=300 a nova soma é 5100+10\cdot300=8100 e o total de consumidores é 900, então a média é
\frac{8100}{900}=9.
  • Portanto são necessárias 300 consultas adicionais (no melhor caso, todas com nota 10) para que a média atinja exatamente 9.

Resposta

300

Exercícios relacionados