De um lote de 20 peças, onde 6 são defeituosas, duas peças são retiradas, uma após a outra e na ordem indicada, sem reposição. Qual a probabilidade de que:
ambas sejam boas?
ambas sejam boas?
Passo 1
Primeiro vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Há um lote com
peças. - Dessas,
são defeituosas. - Logo, o número de peças boas é
. - Retiram-se duas peças, uma após a outra, sem reposição (ou seja, a segunda retirada ocorre com uma peça a menos no lote).
- O enunciado pede: qual a probabilidade de que ambas as peças retiradas sejam boas?
Passo 2
Vou escolher um método simples e direto: usar a regra da probabilidade condicionada (regra do produto). Antes, explico o conceito.
Se
é o evento “primeira peça é boa” e
é o evento “segunda peça é boa”, então a probabilidade de ocorrerem ambos os eventos é dada por
Aqui:
-
é a probabilidade da primeira peça ser boa. -
é a probabilidade da segunda peça ser boa dado que a primeira foi boa.
Essa fórmula vem da definição de probabilidade condicional e é a maneira natural de tratar retiradas sem reposição.
Passo 3
Calcular
, a probabilidade de a primeira peça ser boa.
No início há
peças boas entre
peças totais, então
Explicando: probabilidade = número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis.
Passo 4
Calcular
, a probabilidade de a segunda peça ser boa sabendo que a primeira foi boa.
Se a primeira saiu boa, restam
peças boas e o total de peças ficou
. Portanto
Novamente, é razão entre casos favoráveis (
boas restantes) e casos possíveis (
peças restantes).
Passo 5
Aplicar a regra do produto para obter
.
Agora simplifico:
logo
Posso também dar a aproximação decimal:
Passo 6
Para reforçar (e porque costuma cair em provas), apresento a mesma resposta via contagem combinatória (método hipergeométrico), explicando a ideia.
Número de maneiras de escolher
peças boas dentre as
boas é
.
Número de maneiras de escolher peças quaisquer dentre as
é
.
A probabilidade é
Número de maneiras de escolher
A probabilidade é
Calculando:
portanto
o que confirma o resultado anterior.